Нумерация дроби: The page cannot be found

Содержание

СОДЕРЖАНИЕВведение .. Натуральные числа 1.1. Функции натуральных чисел . … Рациональные числа .. … Д — Литература

СОДЕРЖАНИЕ

Введение…………………………………………………………..

  1. Натуральные числа…………………………………………………

1.1. Функции натуральных чисел………………………………. …

  1. Рациональные числа…………………………………………….. …

    1. Дробные числа……………………………………………. …

2.1.1. О происхождении дробей…………………………….

2.1.2. Дроби в Древнем Риме………………………………..

2.1.3. Дроби в Древнем Египте……………………………..

2.1.4. Вавилонские шестидесятеричные дроби………….. ..

2.1.5. Нумерация и дроби в Древней Греции……………. ..

2.1.6. Нумерация и дроби на Руси…………………………

2.1.7. Дроби в других государствах древности………….

.

2.1.8. Десятичные дроби……………………………………

2.1.8.1. Проценты…………………………………….

2.2. Отрицательные числа………………………………………………………

2.2.1. Отрицательные числа в Древней Азии………………

2.2.2. Развитие идеи отрицательного количества в Европе..

  1. Действительные числа………………………………………………

    1. Иррациональные числа………………………………………

    2. Алгебраические и трансцендентные числа…………………

  2. Комплексные числа…………………………………………………

    1. Мнимые числа………………………………………………..

    2. Геометрическое истолкование комплексных чисел………

  3. Векторные числа……………………………………………………

  4. Матричные числа…………………………………………………..

  5. Трансфинитные числа……………………………………………..

  6. Функции = функциональные числа?……………………………. .

8.1. Функциональная зависимость………………………………..

8.2. Развитие функциональных чисел…………………………. ..

Заключение…………………………………………………………

Литература. …………………………………………………………

«Послушайте, что смертным сделал я

Число им подарил

И буквы научил соединять… Эсхил, «Закованный Прометей»

Эсхил, «Закованный Прометей»

«Если бы ни число и его природа, ничто

существующее нельзя было бы постичь им

само по себе, ни в его отношениях к другим

вещам. Мощь чисел проявляется во всех

деяниях и помыслах людей, во всех ремес- лах и в музыке»

Пифагореец Филолай, 5 в. до н.

э.

Введение

Число является одним из основных понятий математики. Понятие числа развивалось в тесной связи с изучением величин; эта связь сохраняется и теперь. Во всех разделах современной математики приходится рассматривать разные величины и пользоваться числами

Существует большое количество определений понятию «число».

Первое научное определение числа дал Эвклид в своих «Началах», которое он, очевидно, унаследовал от своего соотечественника Эвдокса Книдского (около 408 – около 355 гг. до н. э.): «Единица есть то, в соответствии с чем каждая из существующих вещей называется одной. Число есть множество, сложенное из единиц». Так определял понятие числа и русский математик Магницкий в своей «Арифметике» (1703 г.).

Еще раньше Эвклида Аристотель дал такое определение: «Число есть множество, которое измеряется с помощью единиц».

Со слов греческого философа Ямвлиха, еще Фалес Милетский – родоначальник греческой стихийно-материалистической философии – учил, что «число есть система единиц». Это определение было известно и Пифагору.

В своей «Общей арифметике» (1707 г) великий английский физик, механик, астроном и математик Исаак Ньютон пишет: «Под числом мы подра- зумеваем не столько множество единиц, сколько абстрактное отношение какой-нибудь величины к другой величине такого же рода, взятой за единицу. Число бывает трех видов: целое, дробное и иррациональное. Целое число есть то, что измеряется единицей; дробное – кратной частью единицы, иррациональное – число, не соизмеримое с единицей».

Наш мариупольский математик С.Ф.Клюйков также внес свой вклад в определение понятия числа: «Числа – это математические модели реального мира, придуманные человеком для его познания». Он же внес в традиционную классификацию чисел так называемые «функциональные числа», имея в виду то, что во всем мире обычно именуют функциями.

Более подробно об этом изложено в главе 9.

1. Натуральные числа

Считается, что термин «натуральное число» впервые применил римский государственный деятель, философ, автор трудов по математике и теории музыки Боэций (480 – 524 гг.), но еще греческий математик Никомах из Геразы говорил о натуральном, то есть природном ряде чисел.

Понятием «натуральное число» в современном его понимании последовательно пользовался выдающийся французский математик, философ-просветитель Даламбер (1717-1783 гг.).

Первоначальные представления о числе появились в эпоху каменного века, при переходе от простого собирания пищи к ее активному производству, примерно 100 веков до н. э. Числовые термины тяжело зарождались и медленно входили в употребление. Древнему человеку было далеко до абстрактного мышления, хватило того, что он придумал числа: «один» и «два». Остальные количества для него оставались неопределенными и объединялись в понятии «много».

Росло производство пищи, добавлялись объекты, которые требовалось учитывать в повседневной жизни, в связи с чем придумывались новые числа: «три», «четыре»… Долгое время пределом познания было число «семь».

О непонятном говорили, что эта книжка «за семью печатями», знахарки в сказках давали больному «семь узелков с лекарственными травами, которые надо было настоять на семи водах в течение семи дней и принимать каждодневно по семь ложек».

Познаваемый мир усложнялся, требовались новые числа. Так дошли до нового предела. Им стало число 40. Запредельные количества моделировались громадным по тем временам числом «сорок сороков», равным 1600.

Позднее, когда число «сорок» уже перестало быть граничным, оно стало играть большую роль в русской метрологии как основа системы мер: пуд имел 40 фунтов, бочка-сороковка – сорок ведер и т.д.

Большой интерес вызывает история числа «шестьдесят», которое часто фигурирует в вавилонских, персидских и греческих легендах как синоним большого числа. Вавилоняне считали его Божьим числом: шестьдесят локтей в высоту имел золотой идол из храма вавилонского царя Навуходоносора. Позже с тем же самым значением (неисчислимое множество) возникли числа, кратные 60: 300, 360. Со временем число 60 в Вавилоне легло в основу шестидесятеричной системы исчисления, следы которой сохранились до наших дней при измерении времени и углов.

Следующим пределом у славянского народа было число «тьма», (у древних греков – мириада), равное 10 000, а запределом – «тьма тьмущая», равное 100 миллионам. У славян применяли также и иную систему исчисления (так называемое «большое число» или «большой счет»). В этой системе «тьма» равнялась 106, «легион» – 1012, «леодр» – 1024, «ворон» – 1048, «колода» – 1096, после чего добавляли, что большего числа не существует.

В Античном мире дальше всех продвинулись Архимед (III в. до н.э.) в «исчислении песчинок» — до числа 10, возведенного в степень 8х1016 , и Зенон Элейский (IV в.

до н. э.) в своих парадоксах – до бесконечности .

1.1. Функции натуральных чисел

Натуральные числа имеют две основные функции:

  • характеристика количества предметов;

  • характеристика порядка предметов, размещенных в ряд.

В соответствии с этими функциями возникли понятия порядкового числа (первый, второй и т.д.) и количественного числа (один, два и т.д.).

Долго и трудно человечество добиралось до 1-го уровня обобщения чисел. Сто веков понадобилось, чтобы выстроить ряд самых коротких натуральных чисел от единицы до бесконечности:1, 2, …

. Натуральных потому, что ими обозначались (моделировались) реальные неделимые объекты: люди, животные, вещи…

  1. Рациональные числа

2. 1. Дробные числа

2.1.1. О происхождении дробей

С возникновением представлений о целых числах возникали представления и о частях единицы, точнее, о частях целого конкретного предмета. С появлением натурального числа n возникло представление о дроби вида 1/n, которая называется сейчас аликвотной, родовой или основной.

Чтобы выяснить вопрос о происхождении дроби, надо остановиться не на счете, а на другом процессе, который возник со стародавних времен, — на измерении. Исторически дроби возникли в процессе измерения.

В основе любого измерения всегда лежит какая-то величина (длина, объем, вес и т.д.). Потребность в более точных измерениях привела к тому, что начальные единицы меры начали дробить на 2, 3 и более частей. Более мелкой единице меры, которую получали как следствие раздробления, давали индивидуальное название, и величины измеряли уже этой более мелкой единицей.

Так возникали первые конкретные дроби как определенные части каких-то определенных мер. Только гораздо позже названиями этих конкретных дробей начали обозначать такие же самые части других величин, а потом и абстрактные дроби.

2.1.2. Дроби в Древнем Риме

Римляне пользовались, в основном, только конкретными дробями, которые заменяли абстрактные части подразделами используемых мер. Они остановили свое внимание на мере «асс», который у римлян служил основной единицей измерения массы, а также денежной единицей. Асс делился на двенадцать частей – унций. Из них складывали все дроби со знаменателем 12, то есть 1/12, 2/12, 3/12

Так возникли римские двенадцатеричные дроби, то есть дроби, у которых знаменателем всегда было число 12. Вместо 1/12 римляне говорили «одна унция», 5/12 – «пять унций» и т. д. Три унции назывались четвертью, четыре унции – третью, шесть унций – половиной.

Сейчас «асс» — аптекарский фунт.

2.1.3. Дроби в Древнем Египте

Первая дробь, с которой познакомились люди, была, наверное, половина. За ней последовали 1/4, 1/8 …, затем 1/3 , 1/6 и т.д., то есть самые простые дроби, доли целого, называемые единичными или основными дробями. У них числитель всегда единица. Некоторые народы древности и, в первую очередь, египтяне выражали любую дробь в виде суммы только основных дробей. Лишь значительно позже у греков, затем у индийцев и других народов стали входить в употребление и дроби общего вида, называемые обыкновенными, у которых числитель и знаменатель могут быть любыми натуральными числами.

В Древнем Египте архитектура достигла высокого развития. Для того, чтобы строить грандиозные пирамиды и храмы, чтобы вычислять длины, площади и объемы фигур, необходимо было знать арифметику.

Из расшифрованных сведений на папирусах ученые узнали, что египтяне 4 000 лет назад имели десятичную (но не позиционную) систему счисления, умели решать многие задачи, связанные с потребностями строительства, торговли и военного дела.

Вот как записывали египтяне свои дроби. Если, например, в результате измерения получалось дробное число 3/4 , то для египтян оно представлялось в виде суммы единичных дробей ½ + ¼ .

2.1.4. Вавилонские шестидесятеричные дроби

Раскопками, проведенными в ХХ веке среди развалин древних городов южной части Двуречья, обнаружено большое количество клинописных математических табличек. Ученые, изучая их, установили, что за 2000 лет до н. э. у вавилонян математика достигла высокого уровня развития.

Письменная шестидесятеричная нумерация вавилонян комбинировалась их двух значков: вертикального клина ▼, обозначавшего единицу, и условного знака ◄, обозначавшего десять. В вавилонских клинописных текстах впервые встречается позиционная система счисления. Вертикальный клин обозначал не только 1, но и 60, 602, 603 и т.д. Знака для нуля в позиционной шестидесятеричной системе у вавилонян вначале не было. Позже был введен знак , заменяющий современный ноль, для отделения разрядов между собой.

Происхождение шестидесятеричной системы счисления у вавилонян связано, как полагают ученые, с тем, что вавилонская денежная и весовая единицы измерения подразделялись в силу исторических условий на 60 равных частей:

Шестидесятые доли были привычны в жизни вавилонян. Вот почему они пользовались шестидесятеричными дробями, имеющими знаменателем всегда число 60 или его степени: 602 = 3600, 603 = 216000 и т.д. В этом отношении шестидесятеричные дроби можно сравнить с нашими десятичными дробями.

Вавилонская математика оказала влияние на греческую математику. Следы вавилонской шестидесятеричной системы счисления удержались в современной науке при измерении времени и углов. До наших дней сохранилось деление часа на 60 мин., минуты на 60 с, окружности на 360 градусов, градуса на 60 мин., минуты на 60с.

Вавилоняне внесли ценный вклад в развитие астрономии. Шестидесятеричными дробями пользовались в астрономии ученые всех народов до XVII века, называя их астрономическими дробями. В отличие от них, дроби общего вида, которыми пользуемся мы, были названы обыкновенными.

2.1.5. Нумерация и дроби в Древней Греции

В Древней Греции арифметику – учение об общих свойствах чисел – отделяли от логистики – искусства исчисления. Греки считали, что дроби можно использовать только в логистике. Здесь мы впервые встречаемся с общим понятием дроби вида m/n. Таким образом, можно считать, что впервые область натуральных чисел расширилась до области дополнительных рациональных чисел в Древней Греции не позднее V столетия до н. э. Греки свободно оперировали всеми арифметическими действиями с дробями, но числами их не признавали.

В Древней Греции существовали две системы письменной нумерации: аттическая и ионийская или алфавитная. Они были так названы по древнегреческим областям — Аттика и Иония. В аттической системе, названной также геродиановой, большинство числовых знаков являются первыми буквами греческих соответствующих числительных, например, ГЕNTE (генте или центе) – пять, ΔЕКА (дека) – десять и т.д. Эту систему применяли в Аттике до I века н.э., но в других областях Древней Греции она была еще раньше заменена более удобной алфавитной нумерацией, быстро распространившейся по всей Греции.

Греки употребляли наряду с единичными, «египетскими» дробями и общие обыкновенные дроби. Среди разных записей употреблялась и такая: сверху знаменатель, под ним – числитель дроби. Например, 5/3 означало три пятых и т.д.

2. 1.6. Нумерация и дроби на Руси

Как свидетельствуют старинные памятники русской истории, наши предки-славяне, находившиеся в культурном общении с Византией, пользовались десятичной алфавитной славянской нумерацией, сходной с ионийской. Над буквами-числами ставился особый знак, названный титло. Для обозначения тысячи применялся другой знак, который приставлялся слева от букв.

В русских рукописных арифметиках XVII века дроби называли долями, позднее «ломаными числами». В старых руководствах находим следующие названия дробей на Руси:

1/2 — половина, полтина

1/3 – треть

1/4 – четь

1/6 – полтреть

1/8 — полчеть

1/12 –полполтреть

1/16 — полполчеть

1/24 – полполполтреть (малая треть)

1/32 – полполполчеть (малая четь)

1/5 – пятина

1/7 — седьмина

1/10 — десятина

Славянская нумерация употреблялась в России до XVI века, затем в страну начала постепенно проникать десятичная позиционная система счисления. Она окончательно вытеснила славянскую нумерацию при Петре I.

2.1.7. Дроби в других государствах древности

В китайской «Математике в девяти разделах» уже имеют место сокращения дробей и все действия с дробями.

У индийского математика Брахмагупты мы находим достаточно развитую систему дробей. У него встречаются разные дроби: и основные, и производные с любым числителем. Числитель и знаменатель записываются так же, как и у нас сейчас, но без горизонтальной черты, а просто размещаются один над другим.

Арабы первыми начали отделять чертой числитель от знаменателя.

Леонардо Пизанский уже записывает дроби, помещая в случае смешанного числа, целое число справа, но читает так, как принято у нас. Иордан Неморарий (XIII ст.) выполняет деление дробей с помощью деления числителя на числитель и знаменателя на знаменатель, уподобляя деление умножению. Для этого приходится члены первой дроби дополнять множителями:

В XV – XVI столетиях учение о дробях приобретает уже знакомый нам теперь вид и оформляется приблизительно в те самые разделы, которые встречаются в наших учебниках.

Следует отметить, что раздел арифметики о дробях долгое время был одним из наиболее трудных. Недаром у немцев сохранилась поговорка: «Попасть в дроби», что означало – зайти в безвыходное положение. Считалось, что тот, кто не знает дробей, не знает и арифметики.

2.1.8. Десятичные дроби

Со временем практика измерений и вычислений показала, что проще и удобнее пользоваться такими мерами, у которых отношение двух ближайших единиц длины было бы постоянным и равнялось бы именно десяти – основанию нумерации. Этим требованиям отвечает метрическая система мер.

Она возникла во Франции как одно из следствий буржуазной революции. Новые меры должны были удовлетворять следующим требованиям:

  • основой общей системы мер должна быть единица длины;

  • меры длины, площади, объема, вместимости и веса должны быть связаны между собой;

  • основную меру длины следовало выбрать так, чтобы она была постоянной «для всех времен и всех народов»;

  • основанием системы мер необходимо было взять число, равное основанию системы счисления.

Во Франции за основную меру длины приняли одну десятимиллионную часть четверти земного меридиана и назвали ее метром (от греческого слова «метрон», означающего «мера»). На основании измерений меридиана, сделанных французскими учеными Мешеном и Деламбром, был изготовлен впоследствии платиновый эталон метра. Число 10 легло в основу подразделений метра. Вот почему метрическая система мер, применяемая ныне в большинстве стран мира, оказалась тесно связанной с десятичной системой счисления и с десятичными дробями.

Однако следует отметить, что европейцы не первые, кто пришел к необходимости использовать десятичные дроби в математике.

Зарождение и развитие десятичных дробей в некоторых странах Азии было тесно связано с метрологией (учением о мерах). Уже во II веке до н.э. там существовала десятичная система мер длины.

Примерно в III веке н.э. десятичный счет распространился на меры массы и объема. Тогда и было создано понятие о десятичной дроби, сохранившей, однако метрологическую форму.

Например, в Китае в Х веке существовали следующие меры массы: 1 лан = 10 цянь = 102 фэнь = 103 ли = 104 хао = 105 сы = 106 хо.

Если вначале десятичные дроби выступали в качестве метрологических, конкретных дробей, то есть десятых, сотых и т.д. частей более крупных мер, то позже они по существу стали все более приобретать характер отвлеченных десятичных дробей. Целую часть стали отделять от дробной особым иероглифом «дянь» (точка). Однако в Китае как в древние, так и в средние века десятичные дроби не имели полной самостоятельности, оставаясь в той или иной мере связанными с метрологией.

Более полную и систематическую трактовку получают десятичные дроби в трудах среднеазиатского ученого ал-Каши в XV веке. Независимо от него, в 80-тых годах XVI века десятичные дроби были «открыты» заново в Европе нидерландским математиком Стевином.

С начала XVII века начинается интенсивное проникновение десятичных дробей в науку и практику. В Англии в качестве знака, отделяющего целую часть от дробной, была введена точка. Запятая, как и точка, в качестве разделительного знака была предложена в 1617 году математиком Непером.

Развитие промышленности и торговли, науки и техники требовали все более громоздких вычислений, которые с помощью десятичных дробей легче было выполнять. Широкое применение десятичные дроби получили в XIX веке после введения тесно связанной с ними метрической системы мер и весов. Например, в нашей стране в сельском хозяйстве и промышленности десятичные дроби и их частный вид – проценты – применяются намного чаще, чем обыкновенные дроби.

2.1.8.1. Проценты

Слово «процент» происходит от латинских слов pro centum, что буквально означает «за сотню» или «со ста». Процентами очень удобно пользоваться на практике, так они выражают части целых чисел в одних и тех же сотых долях. Это дает возможность упрощать расчеты и легко сравнивать части между собой и с целым.

Проценты были особенно распространены в Древнем Риме. Римляне называли процентами деньги, которые платил должник заимодавцу за каждую сотню. От римлян проценты перешли к другим народам Европы.

Ныне процент – это частный вид десятичных дробей, сотая доля целого (принимаемого за единицу). В некоторых вопросах иногда применяют и более мелкие, тысячные доли, так называемые промилле (от латинского pro mille – «с тысячи»), обозначаемые ‰ по аналогии со знаком процента — %. Однако на практике в большинстве случаев «тысячные» — слишком мелкие доли, десятые же доли слишком крупные. Поэтому больше всего удобны сотые доли, иначе говоря, проценты.

Возможно ли в ООО, имеющем обособленное подразделение, нумерацию счета-фактуры по услугам реализовать через дробь?

Возможно ли, в ООО зарегистрированном в Казани  и имеющим обособленное подразделение в Ижевске (и удалено работающего сотрудника в Йошкар-Оле и Ижевске), нумерацию счета-фактуры по услугам реализовать через дробь?

Например:

С/ф №20/01 для Йошкар-Олы,
С/ф №20/02 для Ижевска,
С/№20/ для Казани.

На Ваш вопрос сообщаем, что официальной позиции по данному вопросу нет.

Есть судебные акты, в которых указывается, что ни п. 5 ст. 169 НК РФ, ни Постановление Правительства РФ от 02.12.2000 N 914 не устанавливают правил нумерации счетов-фактур. Нарушение порядка нумерации не может являться основанием для отказа в вычете НДС.

Авторы разъясняют, что, поскольку правила нумерации отсутствуют, организация должна сама установить порядок присвоения номеров счетам-фактурам. Из разъяснений авторов можно выделить следующие рекомендации по нумерации счетов-фактур.

  • В качестве номера могут использоваться не только цифры, но и цифры с буквами. Возможно использование разделительных знаков.
  • Нумерация должна быть возрастающей и сквозной (т.е. без пропусков), но не хаотичной.
  • Периоды возобновления нумерации налогоплательщики вправе установить любым образом: в месяц, квартал, год и т.д. Есть судебный акт, подтверждающий, что возобновлять нумерацию каждый день правомерно.

Кроме того, есть судебные акты, подтверждающие, что не являются основанием для отказа в вычете или возмещении следующие обстоятельства:

  • несоответствие хронологической последовательности по датам выписки счетов-фактур;
  • расхождения номеров счетов-фактур, представленных в суд и указанных в книге покупок, если существовала возможность достоверно установить верные номера счетов-фактур и идентифицировать их;
  • применение поставщиком «нелогичной нумерации» счетов-фактур;
  • несоответствие хронологической последовательности календарных дат, от которых выданы счета-фактуры, порядковым номерам этих счетов-фактур;
  • ошибка в номере счета-фактуры, вызванная сбоем компьютерной системы поставщика;
  • несовпадение даты и номера счета-фактуры покупателя и счета-фактуры, оставшегося у поставщика.

Ответ подготовлен  01.08.2016 г.

Cтатус предоставленных  документов  актуален  на  момент  формирования  ответа.

Ответ подготовлен  в соответствии с регламентом Линии консультаций, можно заранее ознакомиться с услугой на сайте www.fkit.ru.

Как правильно подобрать номер дроби на охоте? I советы молодым охотникам | Охотник и рыбачок

Приветствую гостей и подписчиков канала Охотник и рыбачок. Сегодня попытаюсь досконально разобрать наболевший вопрос всех молодых охотников: «Каким патроном мне стрелять?» а если быть точнее каким номером дроби или картечи.

Полный патронташ а стрелять не знают чем:)

Полный патронташ а стрелять не знают чем:)

Давайте сначала разберемся какая нумерация дроби существует.

Самая мелкая дробь №12 ее еще называют «Белка», размер этой дроби 1,25мм. Далее градация идет по величине на 0,25 мм. Например дробь №11 — это 1,5мм, №10 — 1,75мм и так далее до 4/0 — 5 мм.

Все что идет свыше 4/0 — это уже картечь!

Дробью №12,11 пользуются крайне редко. Номером 10,9,8 в основном пользуются для охоты на перепела или бекаса. №7 (2.5мм) используют для вальдшнепа, рябчика или куропатки.

Знаю охотников которые №7 стреляют уток и не зависимо от поры года. Но моя личная практика показала, что от этой дроби при охоте на уток много подранков, а если и получалось добывать, то в пищу она практически не пригодна, зубные пломбы улетают а ура:)

Далее дробь №6 и №5 используют для охоты летом и в начале осени на молодого тетерева или уток малого размера, например чирок. №4 и №3 используют для охоты на тетерева и взрослых особей уток.

Лично я стреляю уток №3 независимо от поры года. По моему мнению это самый подходящий номер дроби. Так же с того года стал активно использовать при охоте на гуся, но это только тогда когда дистанция выстрела 20-30м.

№2,1 и 0 используют для охоты на зайца лисицу и гуся. Здесь все будет зависеть от дистанции стрельбы. Но никогда не знаешь на каком расстоянии будешь стрелять, поэтому нужно всегда заряжать что-то среднее.

При охоте с двухстволкой на зайца или лисицу я заряжаю нижний ствол (получок) — №1, а в верхний (чок) — 0. Если же с «пятизарядкой», то тогда первый патрон — мельче дробь, а после крупнее.

Следующая дробь 2/0,3/0 и 4/0. 2/0 применяют на глухаря и гуся. 3/0 и 4/0 это считается самая крупная дробь. Ее использовать можно если только на волка, так как при охоте по путевке крупнее 4/0 носить с собой запрещено, или же при стрельбе более 50 метров по лисе или зайцу.

Важно знать!

Дичь не поражается попаданием одной или двух дробин — даже самых крупных. Она поражается минимум 5-6 дробинами. Но во всем бывают исключения!

Далее поговорим о картечи и ее обозначениях.

Картечь не нумеруется в отличие от дроби. На патронах снаряженных картечью написан ее диаметр округленный в большую сторону. Например картечь 6.2 — 6,15мм.

Картечь 6.2 и 6.5 мм. применяют на охоте на волка и косулю. Картечью 7, 7.5, 8 и 8.5 применяют на взрослую косулю, кабана (кроме трофейного) и оленя. Лось и взрослый кабан добывается исключительно пулями

8.5 и пули.

8.5 и пули.

Стоит отметить, что выше перечисленные животные — лицензированные и как правило при охоте по лицензии практически во всех угодьях стрельба картечью запрещена, только пулями. Это связано напрямую с безопасностью на охоте. А с другой стороны это правильно, так как первое это безопасность, второе это травмирование животных, что за частую после картечи приводит к подранкам. Поэтому на загонных охотах по лицензии применяйте исключительно пули тем самым повышайте мастерство в стрельбе!
  • И помните! Увеличение дроби хотя бы на один размер от рекомендованного снижает попадание в цель в 2 раза!

Понравилась статья оцените комментарием и поставьте «лайк»! СПАСИБО

Какие числа называются Рациональными? Примеры и Определение

Определение рациональных чисел

Рациональное число — это число, которое можно представить в виде положительной или отрицательной обыкновенной дроби или числа ноль. Если число можно получить делением двух целых чисел, то это число рациональное.

Рациональные числа — это те, которые можно представить в виде

где числитель m — целое число, а знаменатель n — натуральное число.

Рациональные числа – это все натуральные, целые числа, обыкновенные дроби, бесконечные периодические дроби и конечные десятичные дроби.

Множество рациональных чисел принято обозначать латинской буквой Q.

Примеры рациональных чисел:

  • десятичная дробь 1,15 — это 115/100;
  • десятичная дробь 0,5 — это 1/2;
  • целое число 0 — это 0/1;
  • целое число 6 — это 6/1;
  • целое число 1 — это 1/1;
  • бесконечная периодическая дробь 0,33333… — это 1/3;
  • смешанное число — это 25/10;
  • отрицательная десятичная дробь -3,16 — это -316/100.

 

Свойства рациональных чисел

У рациональных чисел есть определенные законы и ряд свойств — рассмотрим каждый их них. Пусть а, b и c — любые рациональные числа.

Основные свойства действий с рациональными числами
  • Переместительное свойство сложения: a + b = b + a.
  • Сочетательное свойство сложения: (a + b) +c = a + (b + c).
  • Сложение рационального числа и нейтрального элемента (нуля) не изменяет это число: a + 0 = a.
  • У каждого рационального числа есть противоположное число, а их сумма всегда равна нулю: a + (-a) = 0.
  • Переместительное свойство умножения: ab = ba.
  • Сочетательное свойство умножения: (a * b) * c = a * (b * c).
  • Произведение рационального числа и едины не изменяет это число: a * 1 = a.
  • У каждого отличного от нуля рационального числа есть обратное число. Их произведение равно единице: a * a−1 = 1.
  • Распределительное свойство умножения относительно сложения: a * (b + c) = a * b + a * c.

Кроме основных перечисленных есть еще ряд свойств:

 
  1. Правило умножения рациональных чисел с разными знаками: (-a) * b = -ab. Такая фраза поможет запомнить: «плюс на минус есть минус, и минус на плюс есть минус».

  2. Правило умножения отрицательных рациональных чисел: (−a) * (−b) = ab. Запомнить поможет фраза: «минус на минус есть плюс».

  3. Правило умножении произвольного рационального числа на нуль: a * 0 = 0 или 0 * a = 0. Докажем это свойство.

    Мы знаем, что 0 = d + (-d) для любого рационального d, значит a * 0 = a * (d + (-d)).

    Распределительный закон позволяет переписать выражение:

    a * d + a * (−d), а так как a * (−d) = -ad, то a * d + a * (-d) = a * d + (-ad).

    Так получилась сумма двух противоположных чисел, которая в результате дает нуль, что доказывает равенство a * 0 = 0.

Мы перечислили только свойства сложения и умножения. На множестве рациональных чисел вычитание и деление можно записать, как обратные к сложению и умножению. То есть, разность (a — b) можно записать, как сумму a + (-b), а частное a/b равно произведению a * b−1, при b ≠ 0.

Определение иррационального числа

Иррациональное число — это действительное число, которое невозможно выразить в форме деления двух целых чисел, то есть в рациональной дроби

Оно может быть выражено в форме бесконечной непериодической десятичной дроби.

Бесконечная периодическая десятичная дробь — это такая дробь, десятичные знаки которой повторяются в виде группы цифр или одного и того же числа.

Примеры:

  • π = 3,1415926…
  • √2 = 1,41421356…
  • e = 2,71828182…
  • √8 = 2.828427…
  • -√11= -3.31662…

Обозначение множества иррациональных чисел: латинская буква I.

Действительные или вещественные числа — это все рациональные и иррациональные числа: положительные, отрицательные и нуль.

Свойства иррациональных чисел:

  • результат суммы иррационального числа и рационального равен иррациональному числу;
  • результат умножения иррационального числа на любое рациональное число (≠ 0) равен иррациональному числу;
  • результат вычитания двух иррациональных чисел равен иррациональному числу или рациональному;
  • результат суммы или произведения двух иррациональных чисел равен рациональному или иррациональному, например: √2 * √8 = √16 = 4).

Различие между целыми, натуральными и рациональными числами

Натуральные числа — это числа, которые мы используем, чтобы посчитать что-то конкретное, осязаемое: один банан, две тетрадки, десять стульев.

А вот, что точно не является натуральным числом:

  • Нуль — целое число, которое при сложении или вычитании с любыми числами в результате даст то же число. Умножение на ноль дает ноль.
  • Отрицательные числа: -1, -2, -3, -4.
  • Дроби: 1/2, 3/4, 5/6.

Целые числа — это натуральные числа, противоположные им и нуль.

Если два числа отличаются друг от друга знаком — их называют противоположными: +2 и -2, +7 и -7. Знак «плюс» обычно не пишут, и если перед числом нет никакого знака, значит оно положительное. Числа, перед которыми стоит знак «минус», называют отрицательными.

Какие числа называются рациональными мы уже знаем из первой части статьи. Повторим еще раз.

Рациональные числа — это конечные дроби и бесконечные периодические дроби.

Например:

Любое рациональное число можно представить в виде дроби, у которой числитель принадлежит целым числам, а знаменатель — натуральным. Поэтому во множество рациональных чисел входит множество целых и натуральных чисел.


Но не все числа можно назвать рациональными. Например, бесконечные непериодические дроби не принадлежат множеству рациональных чисел. Так √3 или 𝜋 (число пи) нельзя назвать рациональными числами.

История математики. Юшкевич А. П. т. I

История математики. Юшкевич А. П. т. I

На главную страницу | История физики и математики

Титульная страница

Предисловие

Первая часть. МАТЕМАТИКА В ДРЕВНОСТИ

Первая глава. ДОИСТОРИЧЕСКИЕ ВРЕМЕНА (Э. И. Березкина, Б. А. Розенфельд)

Возникновение понятия числа. Возникновение числовых обозначений . Возникновение понятий о геометрических фигурах

Вторая глава. ДРЕВНИЙ ЕГИПЕТ (Э. И. Березкина, А. П. Юшкевич)

Древнейшие цивилизации. Древний Египет. Источники. Египетская нумерация. Математические знания египтян. Искусство счета. Египетские дроби. Красные числа. Задачи на «аха». Прогрессии. Геометрические знания. Вычисление площади круга. Объем пирамиды. Значение математики древнего Египта

Третья глава. ВАВИЛОН (Э. И. Березкина, А. П. Юшкевич)

Древнее Двуречье. Источники. Вавилонская нумерация. Вычислительная техника. Арифметические задачи. Арифметические прогрессии в астрономии. Алгебраические методы. Квадратные уравнения. Приближенное вычисление корней. Геометрия у вавилонян. Теорема Пифагора. Правильные многоугольники. Подобие и пропорциональность. Теоретико-числовые задачи. Значение математики древнего Вавилона

Четвертая глава. ДРЕВНЯЯ ГРЕЦИЯ (И. Г. Башмакова)

Греческое чудо. Греческая наука. Греческие нумерации. Фалес. Школа Пифагора. Арифметика целых чисел. Арифметика дробей и первая теория отношений. Несоизмеримость. Первые иррациональности. Классификация иррациональностей Теэтета. Теория делимости. Первый критерий несоизмеримости. Геометрическая алгебра. Алгебра древних и геометрия циркуля и линейки. Первые неразрешимые задачи. Кубические уравнения. Парадоксы бесконечного. Демокрит. Евдокс. Отношения и числа. «Метод исчерпывания»

Пятая глава. ЭЛЛИНИСТИЧЕСКИЕ СТРАНЫ И РИМСКАЯ ИМПЕРИЯ (И. Г. Башмакова)

Наука в эллинистических странах. Евклид. «Начала» Евклида. Аксиоматика. Тринадцать книг «Начал». Архимед. Интегральные методы Архимеда. Дифференциальные методы Архимеда. Другие математические работы Архимеда. Архимед и математика Нового времени. Аполлоний. «Конические сечения» Аполлония. Эпигоны. Римские завоевания. Герон Александрийский. Менелай Александрийский. Клавдий Птолемей. Алгебра Диофанта. Диофантовы уравнения. Закат античной математики. Значение греческой математики

Вторая часть. МАТЕМАТИКА В СРЕДНИЕ ВЕКА

ВВЕДЕНИЕ

Первая глава. КИТАЙ (Э. И. Березкина)

Древний и средневековый Китай. Китайская нумерация. Арифметические действия. «Математика в девяти книгах». Дроби. Правило двух ложных положений. Системы линейных уравнений со многими неизвестными. Отрицательные числа. Квадратные уравнения. Метод тянь-юань. Теоретико-числовые задачи. Интерполирование. Суммирование рядов. Геометрические задачи. Значение математики древнего и средневекового Китая

Вторая глава. ИНДИЯ (А. И. Володарский)

Древняя и средневековая Индия. Индийская нумерация. Арифметические действия. Дроби. Задачи на пропорции. Алгебра. Отрицательные и иррациональные числа. Линейные уравнения. Квадратные уравнения. Неопределенные уравнения. Теорема Пифагора. Площади и объемы. Тригонометрия. Бесконечные ряды. Значение математики Индии

Третья глава. СТРАНЫ ИСЛАМА (Б. А. Розенфельд, А. П. Юшкевич

Арабский халифат. Арабские нумерации. Арифметические действия. Дроби. Извлечение корней и «бином Ньютона». Теория отношений и действительные числа. Арифметические задачи. Алгебра; квадратные уравнения. Кубические уравнения. Теория чисел. Геометрические вычисления. Геометрические построения. Теория параллельных. Тригонометрия. Инфинитезимальные методы. Значение математики стран ислама

Четвертая глава. СРЕДНЕВЕКОВАЯ ЕВРОПА (Б. А. Розенфельд, А. П. Юшкевич)

Феодализм в Европе. Математика в Византии. Математика в Грузии и Армении. Древнерусская нумерация. Древнерусские математические сочинения. Первые математические сочинения в Западной Европе. Распространение позиционной арифметики. Переводы с арабского и греческого. Первые университеты. Леонардо Пизанский. Иордан Неморарий. Развитие физики. Томас Брадвардин. Ричард Суайнсхед. Николь Орем

Пятая глава. ЭПОХА ВОЗРОЖДЕНИЯ (Б. А. Розенфельд, А.П.Юшкевич)

Лука Пачоли. Никола Шюке. Коссисты. Решение уравнений третьей и четвертой степеней. Мнимые величины. Михаэль Штифель. Формула бинома. Десятичные дроби и алгебраические обозначения Стевина. Иррациональные числа. Дробные показатели. Алгебра Петра Рамуса. Алгебра Франсуа Виета. Отрицательные числа. Тригонометрия. Теория перспективы. Леонардо да Винчи. Альбрехт Дюрер. Теория параллельных линий. Значение математики эпохи Возрождения

БИБЛИОГРАФИЯ

 

На главную страницу | История физики и математики

Используются технологии uCoz

Требования к оформлению формул в диссертации по ГОСТ 2020

Содержание статьи

Диссертации по техническим специальностям – это сложные научно-исследовательские работы, состоящие из множества формул, уравнений, графиков и других наглядных пособий. Требования к оформлению этих элементов строго регламентируются ГОСТом.

Основные правила оформления формул в диссертации

Оформление формул в кандидатских диссертациях основано на соответствующих технико-орфографических правилах.

Если формула, использованная в тексте диссертации, пронумерована или громоздкая (наличие интегрирования, дифференцирования, произведения/суммы), ее рекомендуется размещать на нескольких строчках. Переносится уравнение после знаков «=» или умножение/деление/плюс/минус («х», «:», «+», «-»)

Чтобы сэкономить место на листе, однотипные формулы, удаленные от текста научной работы, подаются в одной строчке. В некоторых случаях, они вписываются в строку текста (правило актуально для несложных и небольших формул).

Примечание. Значения коэффициентов и использованных символов размещаются с новой строки. Формат первой строки пояснения – слово «где» (без использования двоеточия). Обязательной нумерации подлежат уравнения со ссылками в тексте диссертации.

Все формулы отделяются от текста сверху и внизу межстрочным интервалом (значение – 1,5).

Особенности нумерации формул

Для порядковой нумерации формул используют арабские цифры. Они размещаются в круглых скобках и располагаются в правой части листа без точек возле конца формулы. Если номер не поместился в конце строки, разрешается указать его чуть ниже, на уровне следующей строки.

Правило нумерации для формул в рамке следующее – цифра записывается за пределами рамки с правой части уравнения напротив основной его строки. Формулы-дроби нумеруются напротив уровня их основной горизонтальной черты.

Все формулы, употребляемые в тексте технических диссертаций, подлежат сквозной нумерации. Исключение составляют мат.выражения, вынесенные в приложения – такие формулы нумеруются сочетанием арабской цифры и символа.

Для промежуточных формул, использующихся для выведения основных, используется другой тип нумерации – это звездочки или буквы, размещенные в круглых скобках (например, (в), (а), (**), (*) и т.д.).

Что следует учитывать при нумерации формул?

  1. Требования ГОСТ 7.32-2001, ГОСТ 2.105-95 не предполагают обязательной нумерации всех формул, размещенных в диссертации. Автор имеет право пронумеровать только важные позиции, на которые указаны ссылки в тексте документа.
  2. Формулы-дроби нумеруются по центральной части выражения параллельно основным горизонтальны чертам.
  3. Не громоздкие формулы, объединенные одной группой, нумеруются общей арабской цифрой.
  4. Буквенно-цифровая нумерация разрешается для обозначения разновидности основного математического выражения, приведенного до описания основной расшифровки в тексте диссертационного исследования.
  5. Сквозная нумерация используется в небольших научных работах для идентификации малых объемов основных формул или для обозначения небольшого количества нумерованных формулах в объемных диссертациях.
  6. Нумерация нескольких групп математических выражений, объединенных парантезом, сводится к тому, чтобы острие скобки, расположенное в середине основной группы, указывало на порядковый номер, размещенный в правом поле.

Пунктуация и формулы в диссертации по математике

При составлении предложений, соискателю ученой степени следует учесть, что формулы являются их равноправным элементом. Перед уравнениями и после них соблюдаются все правила пунктуации.

Обратите внимание! Двоеточие перед формулой используется в двух случаях – наличие обобщающего слова в тексте или особенность построения предложения перед уравнением. Допускается не ставить знаки препинания после определителей и матриц (причина – громоздкость уравнений).

Если обобщающее слово (перечисление, детализация и т.д.) текущего предложения размещается перед математическим выражением, для смысловой взаимосвязи между элементами проставляется двоеточие.

Формулы, следующие друг за другом без текстового прерывания, разделяются между собой точкой с запятой/запятой – знак препинания зависит от основного контекста. В математических выражениях с парантезом, знаки препинания проставляются в их внутренней части.

Коэффициенты, другие математические символы, используемые в диссертации, размещаются с красной строки. При наборе формул в текстовом редакторе Microsoft Word, проставляется полуторный межстрочный интервал. Первая строка пояснения начинается со слова «где», без предварительной простановки двоеточия перед выражением.

Пренебрежение вышеуказанными правилами пунктуации допустимо при случаях использования громоздких математических выражений в форме матрицы/определителя и т.д.

Оформление формул по ГОСТу в диссертации

Основные требования к формулам, регламентируемые положениями ГОСТ.

  1. Пояснения к составляющим уравнения (символы, числовые коэффициенты) указываются в тексте или сразу после формулы.
  2. Перенос формулы на другую строку – исключительно с переносом знака операции с его повтором в начале следующей строки.
  3. Для рукописных вариантов диссертаций, формулы указываются чертежным или машинописным шрифтом. Рекомендуемая высота – до 2,5 мм. Запрещается использовать сочетание рукописных и машинописных составляющих в одной формуле.
  4. Использование сквозной нумерации для всех формул, кроме размещенных в приложении. Единственная формула подлежит обязательной нумерации (пример – (1)).
  5. Ссылки на формулы указываются в круглых скобках.
  6. Формулы в приложении диссертации нумеруются отдельно, арабскими цифрами с добавлением символа, характеризующего приложение. (например, формула С.2).

Пример оформления формулы в диссертации:

Правила оформления уравнений/формул в текстовом редакторе Microsoft Word

В текстовом редакторе Microsoft Word 2003 года, вставка математических формул/уравнений осуществляется без использования дополнительных утилит. Если автор диссертационного исследования  использует современные версии Microsoft Word, рекомендуется использовать Microsoft Education.

Как вставить математические выражения с помощью Microsoft Education?

  1. Перейти на утилиту с помощью меню «Вставка», через подпункт «Объект».
  2. Выбрать в появившемся окошке требуемые компоненты, необходимые для корректного создания формулы/уравнения. Здесь пользователь может выбрать дроби, расположение символов/знаков/возведение в степень и т.д.
  3. Каждое действие с составными элементами математического выражения оформляется с помощью Microsoft Education. Символы, цифры, другие обозначения самостоятельно вводятся пользователем.
  4. Напротив основных формул по правому полю страницы в скобках указывается их нумерация – этот подход упростит поиск требуемого математического выражения в тексте документа.
  5. Другой способ вставить формулу – это меню «Вставка», подпункт «Символы». Пользователь может воспользоваться стандартными шаблонами распространенных формул (например, бином Ньютона, ряд Тейлора, квадратное уравнение, тригонометрическое тождество и т.д.) или самостоятельно вставить требуемую формулу. Такой метод подойдет при использовании текстового редактора Microsoft Word 2007.

Компания «Диссертация» оказывает услуги по написанию сложных технических документов, диссертаций, курсовых работ и дипломных проектов. Каждая работа проходит обязательную многоуровневую проверку на соответствие требованиям ВАК и ГОСТ. Мы гарантируем конфиденциальность каждому клиенту и предлагаем удобную форму оплаты за заказ. Будем рады видеть вас в числе наших заказчиков!

Калькулятор заказа дробей

Использование калькулятора

Сравнивайте и упорядочивайте дроби, целые, смешанные и десятичные числа в возрастающем или убывающем порядке. Упорядочивайте дроби от наименьшей к наибольшей или от наибольшей к наименьшей.

Порядок упорядочивания дробей, целых и смешанных чисел

Чтобы сравнить и упорядочить дроби, мы должны сначала преобразовать все целые числа, смешанные числа (смешанные дроби) и дроби в значения, которые мы можем сравнивать.Мы делаем это, сначала преобразовывая все члены в дроби, находя наименьший общий знаменатель (LCD), а затем переписывая каждый член как эквивалентную дробь с LCD. Затем мы сравниваем числители каждой дроби и располагаем их в правильном порядке от наименьшего к наибольшему или наибольшего к наименьшему.

Шаги для сравнения и упорядочения дробей, целых и смешанных чисел

  1. Преобразование целых и смешанных чисел в неправильные дроби
  2. Найдите наименьший общий знаменатель ЖК всех фракций
  3. Перепишите дроби как эквивалентные дроби, используя ЖК-дисплей
  4. Упорядочить новые дроби по числителю
  5. Сопоставьте исходные входные данные с упорядоченными дробями, чтобы увидеть окончательный порядок

Пример использования этого калькулятора входов по умолчанию

Ввод: 2, 3/4, 9/12, 3 5/8, -12/16 и порядок от наименьшего к наибольшему

  1. Преобразование целых и смешанных чисел в неправильные дроби
    • 3/4, 9/12 и -12/16 — правильные дроби, поэтому мы можем использовать их так, как они написаны.
    • 2 в дробной форме равно 2/1
    • Преобразуйте 3 5/8 в неправильную дробь.Умножьте целое число 3 на знаменатель 8, чтобы получить 24. Добавьте 24 к числителю 5, чтобы получить 29/8.
    Итак, 3 5/8 = 29/8.
    • Все вводимые дроби: 2/1, 3/4, 9/12, 29/8, -12/16
  2. Найдите наименьший общий знаменатель: LCD из 1, 4, 8, 12, 16 это 48
  3. Перепишите введенные дроби как эквивалентные дроби, используя ЖК
    • 2, 3/4, 9/12, 3 5/8, -12/16 становятся:
    • 96/48, 36/48, 36/48, 174/48, -36/48
  4. Упорядочить дроби от меньшего к большему числителю.
    • -36/48 <36/48 = 36/48 <96/48 <174/48
  5. Поместите исходные дроби в том же порядке, что и их эквиваленты.
    • -12/16 <3/4 = 9/12 <2 <3 5/8

Сопутствующие калькуляторы

Чтобы узнать, какая дробь больше, а какая меньше, см. Калькулятор сравнения дробей.

Чтобы сложить, вычесть, умножить и разделить дроби, см. Калькулятор дробей.

Для сложения, вычитания, умножения и деления смешанных чисел и дробей см. Калькулятор смешанных чисел.

Чтобы упростить дробь до наименьших членов, см. Упрощающий калькулятор дробей.

Типы чисел — различие и классификация

Можете ли вы представить, какой была бы ваша жизнь, если бы у вас не было возможности представить возраст, вес, дни рождения, время, результаты, банковские счета и номера телефонов? Десять математических цифр (от 0 до 9) используются для определения всех этих величин.

Числа — это цепочки цифр, используемые для представления количества. Величина числа указывает размер количества. Он может быть как большим, так и маленьким. Они существуют в разных формах, таких как 3, 999, 0,351, 2/5 и т. Д.

Типы чисел в математике

Так же, как разные члены семьи живут в разных домах, разные числа принадлежат к одной семье, но имеют разные типы. . Со временем различные комбинации десяти цифр были классифицированы на множество типов чисел.Эти шаблоны чисел отличаются друг от друга из-за разных представлений и свойств.

Натуральные числа

Натуральные числа или счетные числа — это самые основные типы чисел, которые вы впервые выучили в раннем детстве. Они начинаются с 1 и уходят в бесконечность, то есть 1, 2, 3, 4, 5, 6 и так далее. Их также называют положительными целыми числами. В установленной форме они могут быть записаны как:

{1, 2, 3, 4, 5,…}

Натуральные числа представлены символом N .

Целые числа

Целые числа — это набор натуральных чисел, включая ноль. Это означает, что они начинаются с 0 и увеличиваются до 1, 2, 3 и так далее, т.е.

{0, 1, 2, 3, 4, 5,…}

Целые числа представлены символом W .

Целые числа

Целые числа — это совокупность всех целых и отрицательных чисел натуральных чисел. Они содержат все числа, лежащие между отрицательной бесконечностью и положительной бесконечностью. Они могут быть положительными, нулевыми или отрицательными, но не могут быть записаны в десятичной или дробной форме.Целые числа могут быть записаны в виде набора как

{…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…}

Мы можем сказать, что все целые числа и натуральные числа являются целыми, но не все целые числа — это натуральные или целые числа.

Символ Z представляет целые числа.

Дроби

Дробь представляет собой части целого. Его можно записать в виде a / b , где a и b являются целыми числами, а b никогда не может быть равно 0.Все дроби являются рациональными числами, но не все рациональные числа являются дробями.

Далее дроби сокращаются до правильных и неправильных дробей. Неправильные дроби — это дроби, в которых числитель больше знаменателя, в то время как для правильных функций верно обратное, т.е. знаменатель больше числителя. Примеры правильных дробей: 3/7 и 99/101, а 7/3 и 101/99 — неправильные дроби. Это означает, что неправильные дроби всегда больше 1.

Все завершающие десятичные дроби и повторяющиеся десятичные дроби могут быть записаны как дроби.Вы можете записать завершающую десятичную дробь 1,25 как 125/100 = 5/4. Повторяющееся десятичное число 0,3333 можно записать как 1/3.

Рациональные числа

Вы можете записывать рациональные числа в форме дробей. Слово «рациональный» происходит от слова «соотношение», поскольку рациональные числа — это отношения двух целых чисел. Например, 0,7 — рациональное число, потому что его можно записать как 7/10. Другими примерами рациональных чисел являются -1/3, 2/5, 99/100, 1,57 и т. Д.

Рассмотрим рациональное число p / q , где p и q — два целых числа.Здесь числитель p может быть любым целым числом (положительным или отрицательным), но знаменатель q никогда не может быть 0, поскольку дробь не определена. Кроме того, если q = 1, то дробь является целым числом.

Символ Q представляет рациональные числа.

Иррациональные числа

Иррациональные числа не могут быть записаны в дробной форме, т.е.они не могут быть записаны как отношение двух целых чисел. Вот несколько примеров иррациональных чисел: √2, √5, 0,353535…, π и так далее.Вы можете видеть, что цифры в иррациональных числах продолжаются до бесконечности без повторяющегося шаблона.

Символ Q представляет иррациональные числа.

Вещественные числа

Вещественные числа — это совокупность всех рациональных и иррациональных чисел. Сюда входят все числа, которые можно записать в десятичной форме. Все целые числа являются действительными числами, но не все действительные числа являются целыми числами. Действительные числа включают в себя все целые числа, целые числа, дроби, повторяющиеся десятичные дроби, завершающие десятичные дроби и т. Д.

Символ R представляет действительные числа.

Мнимые числа

Числа, отличные от вещественных, являются мнимыми или комплексными числами. Когда мы возводим в квадрат мнимое число, это дает отрицательный результат, что означает, что это квадратный корень из отрицательного числа, например, √-2 и √-5. Когда мы возводим эти числа в квадрат, получаем -2 и -5. Квадратный корень из отрицательной единицы представлен буквой i , т.е.

i = √-1

Пример 1

Что такое квадратный корень из -16? Запишите свой ответ в виде мнимого числа i .

Решение

  • Шаг 1. Запишите форму квадратного корня.

√ (-16)

√ (16 × -1)

  • Шаг 3. Разделите квадратные корни.

√ (16) × √ (-1)

  • Шаг 4: Найдите квадратный корень.

4 × √ (-1)

  • Шаг 5: Запишите в виде i.

4 i

Иногда вы получаете воображаемое решение уравнений.

Пример 2

Решите уравнение,

x 2 + 2 = 0

Решение

  • Шаг 1. Возьмите постоянный член с другой стороны уравнения.

x 2 = -2

  • Шаг 2: извлеките квадратный корень с обеих сторон.

x 2 = + √-2 или -√-2

x = √ (2) × √ (-1)

x = + √2 i или -√2 i

  • Шаг 4. Проверьте ответы, подставив значения в исходное уравнение, и посмотрите, получим ли мы 0.

x 2 + 2

(+ √2 i ) 2 + 2 = -2 + 2 = 0 (поскольку i = √-1 и квадрат i равен -1)

(-√2 i ) 2 + 2 = -2 + 2 = 0 (поскольку i = √-1 и квадрат i равен -1)

Просто потому, что их имя «воображаемый» не означает, что они бесполезны. У них много приложений. Одно из самых больших применений мнимых чисел — их использование в электрических цепях.Вычисления силы тока и напряжения производятся в виде мнимых чисел. Эти числа также используются в сложных расчетных вычислениях. В некоторых местах мнимое число также обозначается буквой j .

Комплексные числа

Мнимое число комбинируется с действительным числом, чтобы получить комплексное число. Оно представлено как a + bi , где действительная часть и b являются комплексной частью комплексного числа. Действительные числа лежат на числовой прямой, а комплексные числа — на двумерной плоскости.

Как и мнимые числа, комплексные числа тоже не бесполезны. Они используются во многих приложениях, таких как «Сигналы и системы» и «Преобразование Фурье».

Простые числа и составные числа

Простые и составные числа противоположны друг другу. Простые числа — это целые числа без факторов, кроме них самих и 1, например 2, 3, 5, 7 и т. Д. Число 4 не является простым числом, потому что оно делится на 2. Аналогично, 12 также не является простым числом, потому что оно делится на 2, 3 и 4.Таким образом, 4 и 12 являются примерами составных чисел.

Трансцендентные числа

Числа, которые никогда не могут быть нулем (или корнем) полиномиального уравнения с рациональными коэффициентами, называются трансцендентными числами. Не все иррациональные числа являются трансцендентными числами, но все трансцендентные числа являются иррациональными числами.

Классификация чисел

Семейство чисел, которое мы видели выше, также можно разделить на разные категории. Это похоже на то, что в семье 20 человек, но они живут в двух совместных семейных домах по 10 человек в каждом, что означает, что 10 человек живут в одном доме.Мы можем сказать, что два или более типа чисел могут подпадать под одну категорию.

Дискретные и непрерывные числа

Типы счетных чисел называются дискретными числами, а типы чисел, которые не могут быть подсчитаны, называются непрерывными числами. Все натуральные, целые, целые и рациональные числа дискретны. Это потому, что каждый их набор является счетным. Набор действительных чисел слишком велик и не может быть посчитан, поэтому классифицируется как непрерывные числа.Если мы случайным образом возьмем два ближайших действительных числа, между ними все равно будет существовать бесконечно больше вещественных чисел; следовательно, их нельзя сосчитать.

Наборы номеров

Номера также можно классифицировать в виде наборов. Каждый тип числа является подмножеством другого типа числа. Например, натуральные числа — это подмножество целых чисел. Точно так же целые числа — это подмножество целых чисел. Набор рациональных чисел содержит все числа и дроби. Наборы рациональных чисел и иррациональных чисел образуют действительные числа.Действительные числа относятся к комплексным числам с мнимой частью как 0. Мы можем классифицировать эти числа в иерархической диаграмме, как показано ниже:

Натуральные числа могут быть далее сокращены до четных, нечетных, простых, простых, составных и точных квадратов. числа.

Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

Натуральные, целые, рациональные, иррациональные, действительные и другие числа

Натуральные числа

натуральное число (или , считая ) чисел — это 1,2,3,4,5 и т. Д.Есть бесконечно много натуральных чисел. Набор натуральных чисел, {1,2,3,4,5, …}, иногда для краткости пишут N .

Целые числа — натуральные числа вместе с 0.

(Примечание: некоторые учебники не согласны с этим и говорят, что натуральные числа включают 0.)

Сумма любые два натуральных числа также являются натуральными числами (например, 4 + 2000 = 2004), а произведение любых двух натуральных чисел натуральное число (4 × 2000 = 8000). Этот однако это неверно для вычитания и деления.

Целые числа

Целые числа — это набор действительных чисел, состоящий из натуральных чисел, их обратных аддитивных чисел и нуля.

{…, — 5, −4, −3, −2, −1,0,1,2,3,4,5, …}

Набор целых чисел иногда написано J или Z для краткости.

сумма, произведение и разность любых двух целых чисел также являются целыми числами. Но это не относится к делению … просто попробуйте 1 ÷ 2.

Рациональные числа

рациональных чисел те числа, которые можно выразить как отношение между два целых числа.Например, дроби 13 и −11118 являются рациональное число. Все числа входят в рациональные числа, поскольку любое целое число z можно записать как отношение z1.

Все десятичные дроби, которые заканчиваются, являются рациональными числами (с версии 8.27 можно записать как 827100.) Десятичные дроби которые после некоторой точки имеют повторяющийся узор, также являются рациональными: например,

0,0833333 …. = 112.

Множество рациональных чисел замкнуто относительно всех четырех основных операций, то есть для любых двух рациональных чисел их сумма, разница, произведение и частное также являются рациональным числом (пока мы не делим на 0).

Иррациональные числа

Иррациональное число — это число, которое нельзя записать в виде отношения (или дроби). В десятичной форме он никогда не заканчивается и не повторяется. В древние греки обнаружили, что не все числа рациональны; там — это уравнения, которые нельзя решить с помощью отношений целых чисел.

Первое такое уравнение для изучения было 2 = x2. Какие само число умноженное на 2?

2 является около 1,414, поскольку 1,4142 = 1,999396, что близко к 2. Но вы никогда не попадете точно, возведя дробь в квадрат (или завершив десятичный).Квадратный корень из 2 — иррациональное число, то есть его десятичный эквивалент продолжается вечно, без повторяющегося образца:

2 = 1,41421356237309 …

Другой известный иррациональный числа золотое сечение , число с большим значение для биологии:

1 + 52 = 1,61803398874989 …

π (пи), отношение длины окружности к ее диаметру:

π = 3,14159265358979 …

и е, самое важное число в исчислении:

е = 2.71828182845904 …

Иррациональные числа могут быть далее подразделены на алгебраических чисел, которые являются решениями некоторого полиномиального уравнения (например, 2 и золотое сечение), и трансцендентных чисел, которые не являются решениями какого-либо полиномиального уравнения. π и e оба трансцендентны.

Реальные числа

Действительные числа — это набор чисел, содержащий все рациональные числа и все иррациональные числа. Настоящие числа — это «все числа» в числовой строке.Существует бесконечно много действительных чисел, как и бесконечно много чисел в каждом из других наборов чисел. Но можно доказать, что бесконечность действительных чисел на больше бесконечности.

«Меньший», или счетных бесконечности целых чисел и rationals иногда называют ℵ0 (alef-naught), и несчетное бесконечности реалов называется ℵ1 (алеф-он).

Есть еще «большие» бесконечности, но для этого вам следует взять курс теории множеств!

Комплексные числа

Комплексные числа — множество {a + bi | a и b — действительные числа}, где i — мнимая единица, −1.(нажмите здесь, чтобы подробнее о мнимых числах и операциях с комплексными числами).

Комплексные числа включают набор действительных чисел. Действительные числа в сложной системе записываются в виде a + 0i = a. реальное число.

Этот набор иногда бывает записывается как C для краткости. Набор комплексных чисел важно, потому что для любого полинома p (x) с коэффициентами действительного числа все решения p (x) = 0 будут в C .

За пределами …

Есть и «большие» наборы чисел, используемых математиками.Кватернионы , открытые Уильямом Х. Гамильтоном в 1845 году, образуют систему счисления с тремя разные мнимые единицы!

дробей, обыкновенных и десятичных — Студенты | Britannica Kids

Введение

Есть много способов поменять доллар: два полдоллара, четыре четверти, десять центов, 20 никель или 100 пенни. Независимо от того, как вносятся изменения, доллар разбивается — «раскалывается» — на несколько частей. Эти части называются фракциями, от того же латинского слова ( Fractus, , что означает «сломанный»), от которого происходит разрушение.

Все дроби представляют собой части целого. Давно удобно и принято делить вещи на сегменты. Часы делятся на 60 минут каждый. Дни делятся на 24 часа, а годы — на 12 месяцев. Мили делятся на футы, а километры — на метры. Каждый из этих сегментов можно выразить дробью. Один дюйм — это одна двенадцатая часть или одна двенадцатая фута. Дроби очень полезны, потому что они позволяют измерять значения, отличные от целых чисел, таких как 1, 2 или 5.Измерения с использованием долей часто могут быть более точными: точнее сказать «четыре и одна десятая галлона», чем «чуть больше четырех галлонов».

Типы дробей

В повседневной математике есть два типа дробей: обыкновенные и десятичные. Единственная разница между ними — в том, как они написаны. Все дроби записываются с использованием тех же символов, которые используются для записи целых чисел, но символы используются по-разному. Обычные дроби записываются как 4 / 10 или 7 / 100 : четыре больше десяти и семь больше ста.Те же числа, представленные в виде десятичных дробей, будут 0,4 и 0,07. Обычно их читают как «четвертая точка» и «точка ноль семь». Они выражают одинаковые суммы.

В обыкновенной дроби число под чертой является знаменателем, а число над чертой — числителем. При чтении обыкновенной дроби числитель указывается первым. Таким образом, 2 / 3 читается как две трети. Любое число, кроме нуля, может быть знаменателем или числителем. То, что выражается в обыкновенной дроби, — это не только количество, но и соотношение: отношение одной величины к другой.Например, дробь 1 / 2 выражает отношение один к двум: отношение один к двум состоит в том, что один равен половине двух. Отношение используется довольно часто. Когда пекарь делает пирог, он может использовать два стакана сахара на каждые три стакана муки: соотношение составляет два к трем и может быть выражено дробью: 2 / 3 .

Десятичные дроби называются так потому, что они основаны на десятичной системе счисления или системе счисления с десятичным основанием (см. «Системы счисления и числа»).Все десятичные дроби, которые иногда называют просто «десятичными», состоят из одного или нескольких чисел, которым предшествует точка, называемая десятичной точкой: например, 0,4 читается как четыре десятых. Если справа от десятичной точки стоит только одна цифра, дробь всегда читается как «десятые». Если есть две цифры, дробь читается как «сотые», а если есть три, — как «тысячные». Другими словами, десятичные дроби следуют той же последовательности, что и целые числа, где первая цифра находится в столбце «десятки», вторая — в «сотнях» и т. Д. (См. Арифметика).Например, десятичная дробь 0,075 читается как «семьдесят пять тысячных», а дробная часть 0,3852 — как «три тысячи восемьсот пятьдесят две десятитысячных».

В обыкновенных дробях знаменателем может быть любое число. Но в десятичных дробях неписаный знаменатель всегда равен 10 или некоторой степени 10, такой как 100, 1000, 10000 и так далее. Это означает, что превратить десятичную дробь в обычную дробь просто, поставив правильный знаменатель под числом справа от десятичной точки.Таким образом, 0,85 становится обыкновенной дробью 85 / 100 .

Чтобы преобразовать обыкновенную дробь в десятичную, необходимо разделить числитель на знаменатель. Таким образом, 3 / 4 можно преобразовать в десятичную дробь 0,75. Однако не все обычные дроби можно преобразовать в такие точные десятичные дроби: 2 / 3 как десятичная дробь — это бесконечный ряд шестерок справа от десятичной точки.

Дроби обыкновенные.

Есть четыре вида общих дробей: правильные, неправильные, смешанные и сложные.У правильной дроби числитель меньше знаменателя, например, 3 / 4 . Следовательно, значение правильной дроби всегда меньше единицы. В неправильных дробях числитель равен знаменателю или больше его, например, 4 / 4 или 6 / 5 . Таким образом, все неправильные дроби равны или больше единицы.

Смешанная дробь, также называемая смешанным числом, состоит из целого числа и дроби, например 2 1 / 3 .Любую смешанную дробь можно превратить в неправильную дробь, умножив целое число на знаменатель, прибавив результат к числителю и поместив сумму над исходным знаменателем. Таким образом, 2 1 / 3 можно заменить на 7 / 3 .

Сложные дроби, используемые в высшей математике, не состоят из натуральных чисел. Например, квадратный корень из двух над квадратным корнем из пяти считается сложной дробью:


Аналогичным образом, использование смешанных дробей для числителя и знаменателя приведет к получению сложной дроби:


Десятичные дроби.

Смешанные десятичные числа, известные как десятичные смешанные числа, встречаются, если число имеет цифры как слева, так и справа от десятичной точки. Число 2,38 является примером: оно читается как «две тридцать восемь сотых». Слово «и» используется только там, где стоит десятичная точка, чтобы отделить целое число от десятичной дроби. Чтобы избежать путаницы, при чтении десятичных дробей обычно произносится «точка» вместо «и». Число 2.38 будет читаться как «две и три десятых».”

Не может быть неправильных десятичных дробей, потому что числитель (десятичное число) не может превышать понятный знаменатель (десятые, сотые и т. Д.). Все, что больше десятичной дроби, будет смешанным или целым числом. Также невозможно с какой-либо точностью выразить сложную дробь в виде десятичной дроби.

Вычисление с десятичными дробями

Можно складывать, вычитать, умножать и делить дроби так же, как и целые числа.Эти операции легче выполнять с десятичными знаками, потому что процедуры очень похожи на использование целых чисел. Разница заключается в том, что нужно помнить о правильном размещении десятичной точки. Также необходимо отметить, что при сложении или вычитании каждое из чисел должно иметь одинаковое количество десятичных знаков. Чтобы добавить или вычесть нечетные десятичные дроби, возможно, придется добавить нули к одному из чисел. Например, чтобы прибавить 3,68 к 7,5, необходимо поставить ноль в конце второго десятичного знака, чтобы получилось 7.50. И при сложении или вычитании десятичные точки всегда должны находиться в прямом столбце. Чтобы выполнить это сложение, числа должны быть записаны следующим образом:


Те же принципы применяются при вычитании десятичных знаков, и операция идентична вычитанию целых чисел, за исключением наличия десятичной точки. Если бы вышеуказанная задача была решена как вычитание, она бы выглядела точно так же; только результат будет другим:


Обратите внимание, что ноль должен быть помещен в конец числа 7.5, так что есть из чего вычесть 8.

Умножение на десятичные дроби не сложнее, чем на целые числа, за исключением запоминания правильного расположения десятичной точки. Главное отличие от сложения и вычитания состоит в том, что для заполнения десятичной дроби не нужно добавлять нули. Это связано с тем, что добавление нулей может затруднить размещение десятичной точки.

При умножении на десятичные числа необходимо соблюдать определенные правила, которые помогают правильно расставить десятичную точку.

Правило 1. Если десятичная дробь умножается на целое число, количество десятичных знаков в произведении совпадает с количеством десятичных знаков в умноженном числе.

Задача умножения десятичных шестых десятых (0,6) на четыре (4) выглядит следующим образом:


Обратите внимание, что десятичная точка помещается перед 4 в произведении, потому что в числе был только один десятичный разряд. умноженное (0,6).

Правило 2. Если целое число умножается на десятичное, количество десятичных знаков в произведении совпадает с количеством десятичных знаков в множителе.(Обратите внимание, что это противоположно Правилу 1, но действует тот же принцип.) Чтобы умножить 32 на 2,5, задача ставится следующим образом:


Еще раз обратите внимание на расположение десятичной дроби. В множителе (2,5) был только один десятичный знак, поэтому в произведении (80,0) фигурирует только один. В этом случае, однако, десятичную дробь можно исключить, потому что 80 — это целое число. Если бы множитель был 2,6, произведение было бы 83,2, смешанное десятичное число, и десятичная точка была бы сохранена.

Правило 3. Если десятичная дробь умножается на десятичную, количество десятичных знаков в произведении равно количеству десятичных знаков в множителе плюс количество десятичных знаков в умножаемом числе. Если множитель и число, умноженные вместе, имеют в общей сложности четыре десятичных знака, в произведении будет четыре десятичных знака. (Любые нули в конце, конечно, можно исключить.) Задача умножения 0,56 на 0,44 ставится следующим образом:


Итог показывает четыре десятичных разряда, потому что множитель и число, умноженные вместе, имеют четыре десятичных разряда.При умножении смешанных десятичных знаков применяется тот же принцип. Произведение 33,5 × 6,055 равно 202,8425 с четырьмя десятичными знаками.

Процесс деления с десятичными знаками такой же, как и с целыми числами, но необходимо быть особенно осторожным при расстановке десятичных знаков. При делении следует помнить один главный момент: размещение десятичной точки в ответе определяется размещением десятичной точки в делимом числе. Как и в случае умножения, полезны определенные правила.

Правило 1. Если десятичная дробь делится на целое число, количество десятичных знаков в ответе совпадает с количеством десятичных знаков в разделяемой десятичной дроби.

Таким образом, если 0,06 разделить на 2, ответ будет 0,03.

Правило 2. Когда целое число делится на десятичное, необходимо сначала преобразовать десятичное число в целое, сдвинув десятичную точку вправо. Затем десятичную точку в разделяемом числе необходимо переместить на такое же количество разрядов вправо и при необходимости добавить нули.Десятичная точка в ответе затем помещается непосредственно над десятичной точкой в ​​разделяемом числе:


Правило 3. При делении десятичной дроби на десятичную дробь снова преобразуется в целое число с десятичной дробью. точка в делимом числе и десятичная точка в ответе переместились соответственно. Следовательно, ответ, полученный при делении 6,816 на 2,13, равен 3,2 с одним десятичным знаком, полученным при соблюдении этого правила.

Вычисление с обыкновенными дробями

Эта процедура несколько сложнее, чем с десятичными.Но его можно упростить, если не забыть сделать так, чтобы все дроби имели один и тот же знаменатель. Это можно сделать легко, потому что деление или умножение обоих членов дроби на одно и то же число не меняет ее значения. Следовательно, чтобы сложить 2 / 3 и 3 / 4 , необходимо найти общий знаменатель. В данном случае это 12. Проблема принимает следующий вид: 8 / 12 + 9 / 12 . Результат находится путем сложения числителей (8 + 9), чтобы получить 17 / 12 .Этот ответ можно изменить на смешанную дробь или десятичную дробь.

Процесс вычитания аналогичен. Найдите общий знаменатель, затем вычтите один числитель из другого:


При работе со смешанными дробями, например 2 1 / 3 + 3 3 / 4 , замените их на неправильные дроби:


Затем найдите общий знаменатель:


Это можно изменить обратно на смешанную дробь или на десятичную (6 1 / 12 , или немного больше 6.08).

При умножении дробей умножаются числитель и знаменатель. Но общий знаменатель находить не обязательно. Чтобы умножить 3 / 5 на 2 / 3 , умножьте два числителя (3 и 2), чтобы получить 6, затем два знаменателя (5 и 3), чтобы получить 15. Ответ: 6 / 15 . Это можно уменьшить до 2 / 5 , которое имеет то же значение, разделив оба члена на 3. Смешанные дроби снова должны быть заменены на неправильные дроби перед умножением.

Деление на дроби всегда выполняется как умножение. Когда любое целое число, смешанная дробь или правильная дробь делится на другую дробь, эта дробь (делитель) инвертируется.

Затем два числа умножаются, как объяснено в тексте выше. Чтобы разделить 3 / 8 на 3 / 4 , инвертируйте делитель ( 3 / 4 ), чтобы получить 4 / 3 ; затем умножьте, чтобы получить 12 / 24 , которое можно уменьшить до 1 / 2 .

Если целое число делится на дробь, дробь инвертируется, а целое число умножается на числитель:


Смешанные дроби, конечно, должны быть заменены на неправильные дроби:


3.3, Дроби , Number and Number Sense

Дробь — это способ представления части целиком (как в модели региона / области или модели длины / измерения) или части группы (как в заданной модели). Дроби используются для обозначения части единицы вещь или часть коллекции вещей.Модели могут включать узор блоки, дробные линейки, линейки, числовые линейки и т. д.

В каждой области / регионе и длине / измерении модели, детали должны быть одинакового размера (конгруэнтны). Целые делятся или разделены на части равного размера. В установленной модели каждый член набор является равной частью набора. Члены набора не обязательно должны быть равные по размеру.

Знаменатель показывает, сколько равных частей целиком или множеством. Числитель показывает, сколько из этих частей рассматривается.

Предоставлять возможности для установления связей среди представлений дробей путем соединения конкретных или графических представления с устным языком и символические изображения.

Неформальный, интегрированный опыт с дроби на этом уровне помогут студентам развить основу для более глубоких учиться в старших классах. Понимание языка дробей (например, третей означает «три равные части целого», 1/3 представляет собой одну из трех части равного размера, когда пицца делится между тремя учениками, или три четверти означает «три из четырех равных частей одного целого») способствует этому развитию.

Сравнение единичных дробей (дробь, в которой числитель равен единице) строит мысленный образ дробей и понимание того, что как число частей целого увеличивается, размер одной части уменьшается (например, 1/5 бара меньше 1/4 бара).

Сравнение дробей с эталоном на числовая строка (например, близко к 0, меньше 1/2, точно, больше 1/2, или близко к 1/2) облегчает сравнение дробей при использовании бетонные материалы или графические модели.

Все студенты должны

Поймите, что нужно дать определение целому.

Помните, что знаменатель говорит количество равных частей, составляющих единое целое.

Поймите, что числитель — это счет число, указывающее, сколько деталей одинакового размера рассматривается.

Поймите, что значение дроби зависит как от количества частей в целом (знаменатель), так и от количество рассматриваемых частей (числитель).

Поймите, что правильная дробь — это дробь, числитель которой меньше знаменателя.

Поймите, что неправильная дробь — это дробь, числитель которой больше или равен знаменателю и равен один или больше одного.

Поймите, что неправильная дробь может быть выражена как целое или смешанное число.

Помните, что смешанное число записывается как целое число. и правильная фракция

Студент будет использовать решение задач, математическая коммуникация, математические рассуждения, связи и представительства на номер

Назовите и напишите дроби (в том числе смешанные числа), представленные моделью, включающие половинки, трети, четверти, восьмые, десятые и двенадцатые.

Используйте бетонные материалы и изображения для моделирования по крайней мере, половинки, трети, четвертые, восьмые, десятые и двенадцатые.

Сравните дроби, используя большее чем, меньше или равно и символы (<,> и =). Проводятся сравнения дробей с одинаковыми и непохожими друг на друга. в знаменателях с использованием моделей, бетонных материалов и изображений

Смешанные числа и неправильные дроби — Дроби — Edexcel — GCSE Maths Revision — Edexcel

\ (2 \ frac {1} {2} \) — это пример смешанного числа .Это когда целые числа и дроби записываются вместе.

Эта же дробь может также отображаться как неправильная дробь , \ (\ frac {5} {2} \). Это стоит столько же, сколько смешанное число, но не разделяет целые числа и части. У неправильных дробей числитель больше знаменателя.

Неправильные фракции иногда называют верхними тяжелыми фракциями .

Преобразование смешанных чисел в неправильные дроби

Чтобы превратить смешанные числа в неправильные дроби, сначала посмотрите на знаменатель дроби.Это будет знаменатель неправильной дроби.

Пример

Превратите \ (3 \ frac {1} {2} \) в неправильную дробь.

Дробь в смешанном числе имеет знаменатель 2, поэтому неправильная дробь также будет иметь знаменатель 2. 3 целых — это 6 половинок. Осталась еще половина. Всего это 7 половинок или \ (\ frac {7} {2} \).

Чтобы преобразовать любое смешанное число в неправильную дробь:

  1. умножьте целое число на знаменатель
  2. добавьте в числитель

\ (3 = 3 \ times \ frac {2} {2} = \ frac { 6} {2} \) so \ (3 \ frac {1} {2} = \ frac {7} {2} \)

Преобразование неправильных дробей в смешанные числа

Чтобы преобразовать неправильную дробь в смешанное число, вычислите, сколько существует целых чисел, разделив числитель на знаменатель.Сделайте остаток новым числителем, а знаменатель оставьте без изменений.

Пример

Превратите \ (\ frac {7} {5} \) в смешанное число.

\ (7 \ div 5 \) = 1 целиком и 2 оставшихся.

Базовый числовой блок

Может использоваться как любое положительное или отрицательное число.Нажатие на «0» в блоке позволит вам изменить число.

Блок поддерживает обычные числа с основанием 10 (например: 2, 12 и 2,12), а также префиксы типа C для других оснований счисления. Поддерживает:

  • Base-2 (двоичные) числа, например 0b10 (2 в десятичной системе)
  • Base-8 (восьмеричные) числа, например 0o14 (12 в десятичной системе)
  • Base-16 (шестнадцатеричные) числа, например 0xd4 (212 в десятичной системе)

Блок счисления системы счисления

Представляет десятичное число.Нажатие на «0» позволит вам изменить число.

Щелчок по раскрывающемуся списку позволит вам ввести число в другой системе счисления (также известной как основание системы счисления). Затем число будет «переведено» в десятичное (также известное как основание 10).

Например, эти три блока эквивалентны:

Выпадающий список поддерживает: десятичный (base-10), двоичный (base-2), восьмеричный (base-8) и шестнадцатеричный (base-16) форматы ввода.

Десятичный режим позволяет вводить любое положительное или отрицательное число (например.грамм. 2, -12, 2,12). В других режимах можно вводить только целое число (то есть любое положительное число или ноль).

= {# =}

Проверяет, равны ли два числа, и возвращает истину или ложь.

≠ {# not =}

Проверяет, не равны ли два числа, и возвращает истину или ложь.

>

Проверяет, больше ли первое число второго и возвращает истину или ложь.

Проверяет, больше ли первое число второму или равно ему, и возвращает истину или ложь.

<

Проверяет, меньше ли первое число второго и возвращает истину или ложь.

Проверяет, меньше ли первое число второму или равно ему, и возвращает истину или ложь.

+

Возвращает результат сложения любого количества блоков, имеющих числовое значение. Блоки с числовым значением включают основной числовой блок, длину списка или текста, переменные с числовым значением и т. Д.

Возвращает результат первого числа в степени второго.

случайное целое число

Возвращает случайное целое число между заданными значениями включительно. Порядок аргументов не имеет значения.

случайная дробь

Возвращает случайное значение от 0 до 1.

случайный набор начального числа на

Используйте этот блок для генерации повторяемых последовательностей случайных чисел.Вы можете сгенерировать ту же последовательность случайных чисел, сначала вызвав random set seed с тем же значением. Это полезно для тестирования программ, использующих случайные значения.

мин.

Возвращает наименьшее значение набора чисел. Если в блоке есть отключенные сокеты, min также будет считать 0 в своем наборе чисел. Этот блок представляет собой мутатор и раскрывающийся список.

макс

Возвращает наибольшее значение набора чисел. Если в блоке есть отключенные сокеты, max также будет считать 0 в своем наборе чисел.

Возвращает e (2,71828…) в степени данного числа.

круглый

Возвращает заданное число, округленное до ближайшего целого. Если дробная часть <0,5, она будет округлена в меньшую сторону. Если оно> 0,5, оно будет округлено в большую сторону. Если он точно равен 0,5, числа с четной целой частью будут округлены в меньшую сторону, а числа с нечетной целой частью будут округлены в большую сторону. (Этот метод называется округлением до четного.)

потолок

Возвращает наименьшее целое число, которое больше или равно заданному числу.

этаж

Возвращает наибольшее целое число, которое меньше или равно заданному числу.

по модулю

По модулю (a, b) то же самое, что и остаток (a, b), когда a и b положительны. В более общем смысле, модуль (a, b) определяется для любых a и b так, что (floor (a / b) × b) + modulo (a, b) = a. Например, по модулю (11, 5) = 1, по модулю (-11, 5) = 4, по модулю (11, -5) = -4, по модулю (-11, -5) = -1. По модулю (a, b) всегда имеет тот же знак, что и b, а остаток (a, b) всегда имеет тот же знак, что и a.

остаток

Remainder (a, b) возвращает результат деления a на b и взятия остатка. Остаток — это дробная часть результата, умноженная на b.

Например, остаток (11,5) = 1, потому что

11/5 = 2 1 5

В данном случае 1 5 — дробная часть. Мы умножаем это на b, в данном случае на 5, и получаем 1, наш остаток.

Другие примеры: остаток (-11, 5) = -1, остаток (11, -5) = 1 и остаток (-11, -5) = -1.

частное

Возвращает результат деления первого числа на второе и отбрасывания любой дробной части результата.

грех

Возвращает синус заданного числа в градусах.

cos

Возвращает косинус заданного числа в градусах.

загар

Возвращает тангенс заданного числа в градусах.

asin

Возвращает арксинус заданного числа в градусах.

acos

Возвращает арккосинус заданного числа в градусах.

атан

Возвращает арктангенс заданного числа в градусах.

atan2

Возвращает арктангенс y / x для заданных y и x.

преобразовать радианы в градусы

Возвращает значение заданного числа в градусах в радианах. Результатом будет угол в диапазоне [0, 360)

.

преобразовать градусы в радианы

Возвращает значение заданного числа в градусах в радианах.Результатом будет угол в диапазоне [-π, + π)

. Формат

как десятичный

Форматирует число как десятичное с заданным количеством знаков после запятой. Количество мест должно быть целым неотрицательным числом. Результат получается округлением числа (если мест слишком много) или добавлением нулей справа (если их слишком мало).

— это число?

Возвращает истину, если данный объект является числом, и ложь в противном случае.

преобразовать число

Принимает текстовую строку, представляющую положительное целое число с одной базой, и возвращает строку, которая представляет то же самое число с другой базой. Например, если входная строка равна 10, то преобразование из базы 10 в двоичное даст строку 1010; в то время как, если входная строка — это то же самое 10, тогда преобразование из двоичного в базовый 10 даст строку 2. Если входная строка такая же 10, то преобразование из базы 10 в шестнадцатеричное приведет к строке A.

побитовое и

Принимает два числа и сравнивает каждую пару битов. Каждый бит результата равен 1, только если соответствующие биты обоих операндов равны 1.

Пример:

Десятичное Двоичное (внутреннее представление)
6 0 1 1 0
3 0 0 1 1
Результат: 2 0 0 1 0

Побитовое ИЛИ (включительно)

Принимает два числа и сравнивает каждую пару битов.Каждый бит результата равен 1, если любой из соответствующих битов в каждом операнде равен 1.

Пример:

Десятичное Двоичное (внутреннее представление)
6 0 1 1 0
3 0 0 1 1
Результат: 7 0 1 1 1

побитовое ИЛИ (Исключительно)

Принимает два числа и сравнивает каждую пару битов.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *