Как делать дроби: Урок 40. сложение и вычитание дробей — Математика — 6 класс

Содержание

Урок 40. сложение и вычитание дробей — Математика — 6 класс

Математика

6 класс

Урок № 40

Сложение и вычитание дробей

Перечень рассматриваемых вопросов:

  • обобщение и систематизация знаний по теме «Сложение и вычитание дробей».

Тезаурус

Сумма дробей с одинаковыми положительными знаменателями есть дробь с тем же знаменателем и числителем, равным сумме числителей.

Разностью двух дробей называют такую дробь, которая в сумме с вычитаемым даёт уменьшаемое.

Наименьший общий положительный знаменатель – это наименьшее положительное число, кратное знаменателям данных дробей.

Наименьшее общее кратное двух чисел – наименьшее натуральное число, которое делится на заданные числа без остатка.

Обязательная литература:

  1. Никольский С. М. Математика. 6 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. – М.: Просвещение, 2017, стр. 258.

Дополнительная литература:

  1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты.5-6 кл. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина – М.: Просвещение, 2009, стр. 142.
  2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин – М.: Просвещение, 2014, стр. 95.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

На прошлых уроках мы с вами рассматривали, как выполняют сложение и вычитание дробей любого знака. Сегодня вспомним и закрепим эти правила.

Вспомним основные правила сложения и вычитания дробей любого знака.

Правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями

Чтобы сложить две дроби с одинаковыми положительными знаменателями, надо сложить их числители, а знаменатель оставить прежним.

Правило сложения дробей с разными знаменателями

Чтобы сложить две дроби с разными знаменателями, надо привести их к общему положительному знаменателю и сложить полученные дроби.

Правило вычитания дробей с одинаковыми знаменателями

Чтобы вычесть две дроби с одинаковым положительными знаменателями, надо из числителя уменьшаемого вычесть числитель вычитаемого, а знаменатель оставить прежним.

Правило вычитания дробей с разными знаменателями

Чтобы найти разность двух дробей с разными знаменателями, надо привести их к общему положительному знаменателю и выполнить вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.

Разность дробей a и b равна сумме уменьшаемого и числа, противоположного вычитаемому.

Дроби можно складывать и вычитать по тем же правилам, что и целые числа, то есть сначала определять знак результата, потом выполнять действия с модулями.

Иногда сложение и вычитание дробей выполняется проще, если привести их к наименьшему общему положительному знаменателю.

Дополнительный материал

Решим задачу.

Какую часть пути прошли туристы за три дня?

Решение.

Найдём, какую часть пути туристы прошли в третий день.

Найдём, какую часть пути туристы прошли за три дня.

Для этого сложим все части.

Разбор заданий тренировочного модуля

№ 1. Разместите нужные подписи под изображениями.

Варианты ответов:

Сложение дробей с разными знаками и разными знаменателями.

Сложение отрицательных дробей с разными знаменателями

Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Для ответа на вопрос задания вспомним действия с рациональными числами и внимательно посмотрим на знаки между предложенными дробями.

Правильный ответ:

  1. Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.
  2. Сложение дробей с разными знаками и разными знаменателями.
  3. Сложение отрицательных дробей с разными знаменателями

№ 2. Вставьте в текст нужные слова.

Чтобы сложить две дроби с разными …, надо привести их к общему положительному … и … полученные дроби.

Варианты слов для вставки:

знаменателями

числителями

знаменателю

числителю

сложить

вычесть

Для ответа на вопрос задания обратимся к теоретическому материалу урока.

Правильный ответ:

Чтобы сложить две дроби с разными знаменателями, надо привести их к общему положительному знаменателю и сложить полученные дроби.

Действия с дробями: правила, примеры, решения

Данная статья рассматривает действия над дробями. Будут  сформированы и обоснованы правила сложения, вычитания, умножения, деления или возведения в степень дробей вида AB, где A и B могут быть числами, числовыми выражениями или выражениями с переменными. В заключении будут рассмотрены примеры решения с подробным описанием.

Правила выполнения действий с числовыми дробями общего вида

Числовые дроби общего вида имеют числитель и знаменатель, в которых имеются натуральные числа или числовые выражения. Если рассмотреть такие дроби, как 35, 2,84, 1+2·34·(5-2), 34+782,3-0,8, 12·2, π1-23+π, 20,5ln 3, то видно, что числитель и знаменатель может иметь не только числа, но и выражения различного плана.

Определение 1

Существуют правила, по которым идет выполнение действий с обыкновенными дробями. Оно подходит и для дробей общего вида:

  • При вычитании дробей с одинаковыми знаменателями складываются только числители, а знаменатель остается прежним, а именно: ad±cd=a±cd, значения a, c и d≠0 являются некоторыми числами или числовыми выражениями.
  • При сложении или вычитании дроби при разных знаменателях, необходимо произвести приведение к общему, после чего произвести сложение или вычитание полученных дробей с одинаковыми показателями.  Буквенно это выглядит таком образом ab±cd=a·p±c·rs, где значения a, b≠0, c, d≠0, p≠0, r≠0, s≠0 являются действительными числами, а b·p=d·r=s. Когда p=d и r=b, тогда ab±cd=a·d±c·db·d.
  • При умножении дробей выполняется действие с числителями, после чего со знаменателями, тогда получим ab·cd=a·cb·d, где a, b≠0, c, d≠0 выступают в роли действительных чисел.
  • При делении дроби на дробь первую умножаем на вторую обратную, то есть производим замену местами числителя и знаменателя: ab:cd=ab·dc.

Обоснование правил

Определение 2

Существуют следующие математические моменты, на которые следует опираться при вычислении:

  • дробная черта означает знак деления;
  • деление на число рассматривается как умножение на его обратное значение;
  • применение свойства действий с действительными числами;
  • применение основного свойства дроби и числовых неравенств.

С их помощью можно производить преобразования вида:

ad±cd=a·d-1±c·d-1=a±c·d-1=a±cd;ab±cd=a·pb·p±c·rd·r=a·ps±c·es=a·p±c·rs;ab·cd=a·db·d·b·cb·d=a·d·a·d-1·b·c·b·d-1==a·d·b·c·b·d-1·b·d-1=a·d·b·cb·d·b·d-1==(a·c)·(b·d)-1=a·cb·d

Примеры

В предыдущем пункте было сказано про действия с дробями. Именно после этого дробь нуждается в упрощении. Подробно эта тема была рассмотрена в пункте о преобразовании дробей.

Для начала рассмотрим пример сложения и вычитания дробей с одинаковым знаменателем.

Пример 1

Даны дроби 82,7 и 12,7, то по правилу необходимо числитель сложить, а знаменатель переписать.

Решение

Тогда получаем дробь вида 8+12,7. После выполнения сложения получаем дробь вида 8+12,7=92,7=9027=313. Значит, 82,7+12,7=8+12,7=92,7=9027=313.

Ответ: 82,7+12,7=313

Имеется другой способ решения. Для начала производится переход к виду обыкновенной дроби, после чего выполняем упрощение. Это выглядит таким образом:

82,7+12,7=8027+1027=9027=313

Пример 2

Произведем вычитание из 1-23·log23·log25+1 дроби вида 233·log23·log25+1.

Так как даны равные знаменатели, значит, что мы выполняем вычисление дроби при одинаковом знаменателе. Получим, что

1-23·log23·log25+1-233·log23·log25+1=1-2-233·log23·log25+1

Имеются примеры вычисления дробей с разными знаменателями. Важный пункт – это приведение к общему знаменателю. Без этого мы не сможем выполнять дальнейшие действия с дробями.

Процесс отдаленно напоминает приведение к общему знаменателю. То есть производится поиск наименьшего общего делителя в знаменателе, после чего добавляются недостающие множители к дробям.

Если складываемые дроби не имеют общих множителей, тогда им может стать их произведение.

Пример 3

Рассмотрим на примере сложения дробей 235+1 и 12. 

Решение

В данном случае общим знаменателем выступает произведение знаменателей. Тогда получаем, что 2·35+1. Тогда при выставлении дополнительных множителей имеем, что к первой дроби он равен 2, а ко второй 35+1. После перемножения дроби приводятся к виду 42·35+1. Общее приведение 12 будет иметь вид 35+12·35+1. Полученные дробные выражения складываем и получаем, что

235+1+12=2·22·35+1+1·35+12·35+1==42·35+1+35+12·35+1=4+35+12·35+1=5+352·35+1

Ответ: 235+1+12=5+352·35+1

Когда имеем дело с дробями общего вида, тогда о наименьшем общем знаменателе обычно дело не идет.  В качестве знаменателя нерентабельно принимать произведение числителей. Для начала необходимо проверить, имеется ли число, которое меньше по значению, чем их произведение.

Пример 4

Рассмотрим на примере 16·215 и 14·235, когда их произведение будет равно 6·215·4·235=24·245. Тогда  в качестве общего знаменателя берем 12·235.

Рассмотрим примеры умножений дробей общего вида.

Пример 5

Для этого необходимо произвести умножение 2+16 и 2·53·2+1. 

Решение

Следую правилу, необходимо переписать и в виде знаменателя написать произведение числителей. Получаем, что 2+16·2·53·2+12+1·2·56·3·2+1.  Когда дробь будет умножена, можно производить сокращения для ее упрощения. Тогда 5·332+1:1093=5·332+1·9310.

Используя правило перехода от деления к умножению на обратную дробь, получим дробь, обратную данной. Для этого числитель и знаменатель меняются местами. Рассмотрим на примере:

5·332+1:1093=5·332+1·9310

 После чего должны выполнить умножение и упростить полученную дробь. Если необходимо, то избавиться от иррациональности в знаменателе. Получаем, что

5·332+1:1093=5·33·9310·2+1=5·210·2+1=32·2+1==3·2-12·2+1·2-1=3·2-12·22-12=3·2-12

Ответ: 5·332+1:1093=3·2-12

Данный пункт применим, когда число или числовое выражение может быть представлено в виде дроби, имеющую знаменатель, равный 1, тогда и действие с такой дробью рассматривается отдельным пунктом. Например, выражение 16·74-1·3 видно, что корень из 3 может быть заменен другим 31 выражением. Тогда эта запись будет выглядеть как умножение двух дробей вида 16·74-1·3=16·74-1·31.

Выполнение действие с дробями, содержащими переменные

Правила, рассмотренные в первой статье , применимы для действий с дробями, содержащими переменные. Рассмотрим правило вычитания, когда знаменатели одинаковые.

Необходимо доказать, что A, C и D (D не равное нулю) могут быть любыми выражениями, причем равенство AD±CD=A±CD равноценно с его областью допустимых значений.

Необходимо взять набор переменных ОДЗ. Тогда  А, С, D должны принимать соответственные значения a0, c0 и d0.  Подстановка вида AD±CD приводит разность  вида a0d0±c0d0, где по правилу сложения получаем формулу вида a0±c0d0. Если подставить выражение A±CD, тогда получаем ту же дробь вида a0±c0d0. Отсюда делаем вывод, что выбранное значение, удовлетворяющее ОДЗ, A±CD и AD±CD считаются равными.

При любом значении переменных данные выражения будут равны, то есть их называют тождественно равными. Значит это выражение считается доказываемым равенством вида AD±CD=A±CD.

Примеры сложения и вычитания дробей с переменными

Когда имеются одинаковые знаменатели, необходимо только складывать или вычитать числители. Такая дробь может быть упрощена. Иногда приходится работать с дробями, которые являются тождественно равными, но при первом взгляде это  незаметно, так как необходимо выполнять некоторые преобразования. Например, x23·x13+1 и x13+12 или 12·sin 2α и sin a·cos a. Чаще всего требуется упрощение исходного выражения для того, чтобы увидеть одинаковые знаменатели.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание Пример 6

Вычислить:1) x2+1x+x-2-5-xx+x-2, 2)lg2x+4x·(lg x+2)+4·lg xx·(lg x+2), x-1x-1+xx+1.

Решение

  1. Чтобы произвести вычисление, необходимо вычесть дроби, которым имеют одинаковые знаменатели. Тогда получаем, что x2+1x+x-2-5-xx+x-2=x2+1-5-xx+x-2.  После чего можно выполнять раскрытие скобок с приведением подобных слагаемых. Получаем, чтоx2+1-5-xx+x-2=x2+1-5+xx+x-2=x2+x-4x+x-2
  2. Так как знаменатели одинаковые, то остается только сложить числители, оставив знаменатель:​​​​​​lg2x+4x·(lg x+2)+4·lg xx·(lg x+2)=lg2x+4+4x·(lg x+2)
    Сложение было выполнено. Видно, что можно произвести сокращение дроби.  Ее числитель может быть свернут по формуле квадрата суммы, тогда получим (lg x+2)2из формул сокращенного умножения. Тогда получаем, что
    lg2x+4+2·lg xx·(lg x+2)=(lg x+2)2x·(lg x+2)=lg x+2x
  3.  Заданные дроби вида x-1x-1+xx+1 с разными знаменателями. После преобразования можно перейти к сложению.

Рассмотрим двоякий способ решения.

Первый способ заключается в том, что знаменатель первой дроби подвергается разложению на множители при помощи квадратов, причем с ее последующим сокращением. Получим дробь вида

x-1x-1=x-1(x-1)·x+1=1x+1

Значит, x-1x-1+xx+1=1x+1+xx+1=1+xx+1.

В таком случае необходимо избавляться от иррациональности в знаменателе.

Получим:

1+xx+1=1+x·x-1x+1·x-1=x-1+x·x-xx-1

Второй способ заключается в умножении числителя и знаменателя второй дроби на выражение x-1. Таким образом, мы избавляемся от иррациональности и переходим к сложению дроби при наличии одинакового знаменателя. Тогда

x-1x-1+xx+1=x-1x-1+x·x-1x+1·x-1==x-1x-1+x·x-xx-1=x-1+x·x-xx-1

Ответ: 1) x2+1x+x-2-5-xx+x-2=x2+x-4x+x-2, 2)lg2x+4x·(lg x+2)+4·lg xx·(lg x+2)=lg x+2x, 3)x-1x-1+xx+1=x-1+x·x-xx-1.

В последнем примере получили, что приведение к общему знаменателю неизбежно. Для этого необходимо упрощать дроби. Для сложения или вычитая всегда необходимо искать общий знаменатель, который выглядит как произведение знаменателей  с добавлением дополниетльных множителей к числителям.

Пример 7

Вычислить значения дробей: 1) x3+1×7+2·2, 2) x+1x·ln2(x+1)·(2x-4)-sin xx5·ln(x+1)·(2x-4), 3) 1cos2x-x+1cos2x+2·cos x·x+x

Решение

  1.  Никаких сложных вычислений знаменатель не требует, поэтому нужно выбрать их произведение вида 3·x7+2·2, тогда к первой дроби x7+2·2 выбирают как дополнительный множитель, а 3 ко второй. При перемножении получаем дробь вида x3+1×7+2·2=x·x7+2·23·x7+2·2+3·13·x7+2·2==x·x7+2·2+33·x7+2·2=x·x7+2·2·x+33·x7+2·2
  2. Видно, что знаменатели представлены в виде произведения, что означает ненужность дополнительных преобразований. Общим знаменателем будет считаться  произведение вида x5·ln2x+1·2x-4. Отсюда x4 является дополнительным множителем к первой дроби, а ln(x+1) ко второй. После чего производим вычитание и получаем, что:
    x+1x·ln2(x+1)·2x-4-sin xx5·ln(x+1)·2x-4==x+1·x4x5·ln2(x+1)·2x-4-sin x·lnx+1×5·ln2(x+1)·(2x-4)==x+1·x4-sin x·ln(x+1)x5·ln2(x+1)·(2x-4)=x·x4+x4-sin x·ln(x+1)x5·ln2(x+1)·(2x-4)
  3.  Данный пример имеет смысл при работе со знаменателями дробями. Необходимо применить формулы разности квадратов и квадрат суммы, так как именно они дадут возможность перейти к выражению вида 1cos x-x·cos x+x+1(cos x+x)2.  Видно, что дроби приводятся к общему знаменателю. Получаем, что cos x-x·cos x+x2.

После чего получаем, что

1cos2x-x+1cos2x+2·cos x·x+x==1cos x-x·cos x+x+1cos x+x2==cos x+xcos x-x·cos x+x2+cos x-xcos x-x·cos x+x2==cos x+x+cos x-xcos x-x·cos x+x2=2·cos xcos x-x·cos x+x2

Ответ:

1) x3+1×7+2·2=x·x7+2·2·x+33·x7+2·2, 2) x+1x·ln2(x+1)·2x-4-sin xx5·ln(x+1)·2x-4==x·x4+x4-sin x·ln(x+1)x5·ln2(x+1)·(2x-4), 3) 1cos2x-x+1cos2x+2·cos x·x+x=2·cos xcos x-x·cos x+x2.

Примеры умножения дробей с переменными

При умножении дробей числитель умножается на числитель, а знаменатель на знаменатель. Тогда можно применять свойство сокращения.

Пример 8

Произвести умножение дробей x+2·xx2·ln x2·ln x+1 и 3·x213·x+1-2sin2·x-x.

Решение

Необходимо выполнить умножение. Получаем, что

x+2·xx2·ln x2·ln x+1·3·x213·x+1-2sin(2·x-x)==x-2·x·3·x213·x+1-2×2·ln x2·ln x+1·sin (2·x-x)

Число 3 переносится на первое место для удобства подсчетов, причем можно произвести сокращение дроби на x2, тогда получим выражение вида

3·x-2·x·x13·x+1-2ln x2·ln x+1·sin (2·x-x)

Ответ: x+2·xx2·ln x2·ln x+1·3·x213·x+1-2sin(2·x-x)=3·x-2·x·x13·x+1-2ln x2·ln x+1·sin (2·x-x).

Деление

Деление у дробей аналогично умножению, так как первую дробь умножают на вторую обратную. Если взять к примеру дробь x+2·xx2·ln x2·ln x+1 и разделить на 3·x213·x+1-2sin2·x-x, тогда это можно записать таким образом, как

x+2·xx2·ln x2·ln x+1:3·x213·x+1-2sin(2·x-x), после чего заменить произведением вида x+2·xx2·ln x2·ln x+1·3·x213·x+1-2sin(2·x-x)

Возведение в степень

Перейдем к рассмотрению действия с дробями общего вида с возведением в степень. Если имеется степень с натуральным показателем, тогда действие рассматривают как умножение одинаковых дробей. Но рекомендовано  использовать общий подход, базирующийся на свойствах степеней. Любые выражения А и С, где С тождественно не равняется нулю, а любое действительное r на ОДЗ для выражения вида ACr справедливо равенство ACr=ArCr. Результат – дробь, возведенная в степень. Для примера рассмотрим:

x0,7-π·ln3x-2-5x+12,5==x0,7-π·ln3x-2-52,5x+12,5

Порядок выполнения действий с дробями

Действия над дробями выполняются по определенным правилам. На практике замечаем, что выражение может содержать несколько дробей или дробных выражений. Тогда необходимо все действия выполнять  в строгом порядке: возводить в степень, умножать, делить, после чего складывать и вычитать. При наличии скобок первое действие выполняется именно в них.

Пример 9

Вычислить 1-xcos x-1cos x·1+1x.

Решение

Так как имеем одинаковый знаменатель, то 1-xcos x и 1cos x, но производить вычитания по правилу нельзя, сначала выполняются действия в скобках, после чего умножение, а потом сложение. Тогда при вычислении получаем, что

1+1x=11+1x=xx+1x=x+1x

При подстановке выражения  в исходное получаем, что 1-xcos x-1cos x·x+1x. При умножении дробей имеем: 1cos x·x+1x=x+1cos x·x. Произведя все подстановки, получим 1-xcos x-x+1cos x·x. Теперь необходимо работать с дробями, которые имеют разные знаменатели. Получим:

x·1-xcos x·x-x+1cos x·x=x·1-x-1+xcos x·x==x-x-x-1cos x·x=-x+1cos x·x

Ответ: 1-xcos x-1cos x·1+1x=-x+1cos x·x.

Сложение и вычитание отрицательных дробей.

Отрицательные дроби складываются и вычитаются также как и отрицательные числа, только по правилам сложения дробей. Мы можете добавлять только половинки к половинкам, четверти к четвертям или десятые к десятым и так далее. Вычитание отрицательных дробей следует тем же правилам. Для того чтобы сложить или вычесть две дроби нам нужно привести их к общему знаменателю. Если дробь отрицательная мы можем знак минус поставить в числитель и наоборот. Ниже расписано сложение \(-\frac{7}{6}+\frac{5}{7}\):

При сложении двух отрицательных дробей результат будет отрицательным. Когда мы вычитаем две отрицательные дроби, то мы к первой отрицательной дроби прибавляем положительную вторую, так как минус на минус дает плюс.

 

 

Рассмотрим сложение и вычитание следующих отрицательных дробей.

Задача 1. Вычислите \(\frac{1}{4}+(-\frac{3}{10})-(-\frac{1}{2}).\).

Решение. Приводим к наименьшему общему знаменателю:

\(\frac{1}{4}+(-\frac{3}{10})-(-\frac{1}{2})=\frac{5-3*2+10}{20}=\frac{9}{20}\)

Ответ: \(\frac{9}{20}\).

Задача 2. Вычислите \(\frac{1}{7}-(-\frac{5}{6})-(-\frac{1}{3})\).

Решение. Приводим к наименьшему общему знаменателю:

\(\frac{6-35+14}{42}=-\frac{15}{42}=-\frac{5}{14}\)

Ответ: \(-\frac{5}{14}\).

Задача 3. Вычислите \(\frac{1}{4}+\frac{5}{3}-(-\frac{1}{12})\).

Решение. Приводим к наименьшему общему знаменателю:

\(\frac{3+20+1}{12}=\frac{24}{12}=2.\)

Ответ: \(2.\).

Запишись на бесплатный пробный урок тут и разберись с тем, что тебе непонятно.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы «Альфа». Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

Наши преподаватели

Оставить заявку

Репетитор по математике

Барановичский государственный университет

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор по математике 1-4 классов. Сложной математика кажется только на первый взгляд. Немного желания и внимания — и все становится понятным, а самое главное хочется изучать дальше. Математика развивает логику и мышление, а значит помогает во всех сферах нашей жизни. Сделаю математику понятной и интересной для вашего ребенка, учитывая его индивидуальность.

Оставить заявку

Репетитор по математике

Южный федеральный университет

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор по математике для 5-9 классов. Подготовка к ОГЭ. Считаю, что математику может знать каждый, ее не нужно «зубрить». Найду подход к каждому ученику, открою пару математических лайфхаков, покажу, как смотреть на задачу под другим углом. Будем учиться мыслить, а не решать шаблонами.

Оставить заявку

Репетитор по математике

Мордовский государственный университет им. В.П. Огарева

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор 1-6 классов. Я считаю, что математика отлично тренирует память, логику и мышление, а также несомненно развивает творчески, поэтому я с удовольствием помогаю детям подружиться с ней. Процесс изучения математики приносит моим ученикам много положительных эмоций, они с большим интересом начинают решать ,казалось бы, до этого трудные задачи. Давайте вместе с вами отправимся в увлекательное путешествие в страну Математика, чтобы навсегда полюбить ее!

Похожие статьи

Дроби | Математика для всех

Здравствуйте, дорогие читатели! Рад приветствовать Вас на канале, посвящённом математике!

Вы хорошо помните тему дробей? Любили в школе операции с дробями? Помнится, большинство моих одноклассников не очень-то 🙂

Сегодня хочу предложить Вам вспомнить, что такое дроби и что с ними можно делать. А ещё покажу Вам простой способ, как складывать и вычитать обыкновенные дроби, о чём упоминал в этой статье. Но обо всём по-порядку.

Дробь — часть целого, либо несколько целых и часть целого. Все дроби можно разделить на две большие группы: обыкновенные и десятичные.

Каждый кусочек пиццы — это дробь 🙂

Каждый кусочек пиццы — это дробь 🙂

Начнём с обыкновенных дробей. Они записываются так:

Запись обыкновенных дробей

Запись обыкновенных дробей

Горизонтальная или наклонная черта между а и b обозначает деление, т. е. а — делимое, b — делитель, результат деления a на b — частное. Число а — это числитель дроби, b — знаменатель. Если числитель меньше знаменателя (по модулю), то дробь называется правильной, в других случаях — неправильной. Также обыкновенная дробь может быть смешанной, а ещё — составной. Смешанная представляет собой запись целого числа и правильной дроби, т. е. это сумма целого и дроби. Смешанные дроби обычно не используют в научной литературе, дабы избежать разногласий, ведь их можно принять за произведение целого числа на дробь. В таких случаях предпочтительнее неправильная дробь. Составная же дробь, можно сказать, представляет собой «многоэтажную», т. к. при её записи используется несколько дробных черт. Такие дроби тоже редко используются.

Обыкновенные дроби

Обыкновенные дроби

Теперь о десятичных дробях. Десятичной дробью называют запись вида:

Десятичные дроби

Десятичные дроби

Числа а — это целая часть дроби, b — дробная. Их разделяет десятичная запятая (в странах СНГ) или точка. Например, число 8,453 произносится так: восемь целых четыреста пятьдесят три тысячных. Эту дробь можно представить в виде смешанной, в которой будет сначала идти число 8 (целая часть), затем правильная дробь, в числителе которой 453, а в знаменателе 1000. Любую обыкновенную дробь можно представить в виде конечной десятичной дроби либо бесконечной периодической. Кстати, о бесконечных периодических дробях я упоминал в статье о циклических числах.

Теперь о том, что можно делать с дробями. А делать с ними можно всё то же, что и с остальными числами — т. е. складывать, вычитать, умножать, делить, возводить в степень, и т. д. О том, как это правильно делать, ещё обязательно в будущем поговорим.

Сегодня лишь хочу, как ранее и обещал, показать простой метод, как довольно быстро складывать и вычитать дроби. Этот способ называют «бабочкой». Вот его описание на конкретном примере:

Сложение дробей «бабочкой»

Сложение дробей «бабочкой»

Итак, что мы сделали? Нарисовали бабочку: крылья, усики, брюшко. Затем перемножили числа на крылышках по диагонали, результаты записали под усиками. Далее перемножили нижние числа, результат записали под брюшком. Затем числа под усиками сложили в числителе, в знаменателе записали число из-под брюшка. Получили результат, после чего сократили дробь. Всё! 🙂 Вычитание можно провести точно таким же способом. Только числа под усиками нужно будет вычесть. Согласитесь, способ очень простой.

Спасибо, что прочитали статью! Надеюсь Вам было интересно.

Буду благодарен за лайки, комментарии, подписки!

Предыдущая статья

Следующая статья

Как решать дробь разделение. Дроби. Умножение и деление дробей

Рано или поздно, все дети в школе начинают изучать дроби: их сложение, деление, умножение и все возможные действия, которые только возможно выполнять с дробями. Чтобы оказать должную помощь ребенку, родителям самим не стоит забывать, как происходит деление целых чисел на дроби, иначе, вы не сможете ему ничем помочь, а лишь запутаете. Если вам понадобилось вспомнить данное действие, но вы никак не можете свести всю информацию в голове в единое правило, то данная статья вам поможет: вы научитесь делить число на дробь и увидите наглядные примеры.

Как разделить число на дробь

Запишите свой пример на черновик, чтобы у вас была возможность делать заметки и помарки. Помните, что целое число записывается между клеток, прямо на их пересечении, а дробные числа – каждая в своей клетке.

  • В данном способе вам нужно перевернуть дробь вверх ногами, то есть, знаменатель записать в числитель, а числитель – в знаменатель.
  • Знак деления нужно поменять на умножение.
  • Теперь вам осталось выполнить умножение по уже изученным правилам: числитель умножается на целое число, а знаменатель не трогаете.

Конечно, в результате такого действия у вас получится очень большое число в числителе. В таком состоянии оставлять дробь нельзя – учитель попросту не примет этот ответ. Сократите дробь, разделив числитель на знаменатель. Целое число, которое получится в результате, запишите слева от дроби посередине клеток, а остаток и будет новым числителем. Знаменатель остается неизменным.

Этот алгоритм довольно прост, даже для ребенка. Выполнив его пять-шесть раз, малыш запомнит порядок действия и сможет применять его к любым дробям.

Как разделить число на десятичную дробь

Бывают дроби другого вида – десятичные. Деление на них происходит по совсем другому алгоритму. Если вы столкнулись с таким примером, то придерживайтесь инструкции:

  • Для начала, превратите оба числа в десятичные дроби. Сделать это просто: делитель у вас и так представлен в виде дроби, а делимое натуральное число вы отделяете запятой, получая десятичную дробь. То есть, если делимое было числом 5, вы получаете дробь 5,0. Отделять число нужно на столько цифр, сколько стоит после запятой и делителя.
  • После этого, обе десятичные дроби вы должны сделать натуральными числами. Сперва, вам покажется это немного запутанным, но это самый быстрый способ деления, который будет занимать у вас секунды, после нескольких тренировок. Дробь 5,0 станет числом 50, дробь 6,23 будет 623.
  • Выполните деление. Если числа получились большие, либо деление будет происходить с остатком, выполните его в столбик. Так вы наглядно увидите все действия данного примера. Вам не нужно специально ставить запятую, так как она сама появится в процессе деления в столбик.

Данный вид деления изначально кажется слишком запутанным, так как вам нужно превратить делимое и делитель в дробь, а потом снова в натуральные числа. Но после недолгой тренировки, вы сразу станете видеть те числа, которые нужно просто разделить друг на друга.

Помните, что умение правильно делить дроби и целые числа на них могут ни раз пригодиться в жизни, поэтому, знать эти правила и простые принципы ребенку нужно идеально, чтобы в более старших классах они не стали камнем преткновения, из-за которого ребенок не может решать более сложные задачи.


С дробями можно выполнять все действия, в том числе и деление. Данная статья показывает деление обыкновенных дробей. Будут даны определения, рассмотрены примеры. Подробно остановимся на делении дробей на натуральные числа и наоборот. Будет рассмотрено деление обыкновенной дроби на смешанное число.

Деление обыкновенных дробей

Деления является обратным умножению. При делении неизвестный множитель находится при известном произведении и другого множителя, где и сохраняется его данный смысл с обыкновенными дробями.

Если необходимо произвести деление обыкновенной дроби a b на c d , тогда для определения такого числа нужно произвести умножение на делитель c d , это даст в итоге делимое a b . Получим число и запишем его a b · d c , где d c является обратным c d числу. Равенства можно записать при помощи свойств умножения, а именно: a b · d c · c d = a b · d c · c d = a b · 1 = a b , где выражение a b · d c является частным от деления a b на c d .

Отсюда получим и сформулируем правило деления обыкновенных дробей:

Определение 1

Чтобы разделить обыкновенную дробь a b на c d , необходимо делимое умножить на число, обратное делителю.

Запишем правило в виде выражения: a b: c d = a b · d c

Правила деления сводятся к умножению. Чтобы придерживаться его, нужно хорошо разбираться в выполнении умножения обыкновенных дробей.

Перейдем к рассмотрению деления обыкновенных дробей.

Пример 1

Выполнить деление 9 7 на 5 3 . Результат записать в виде дроби.

Решение

Число 5 3 – это обратная дробь 3 5 . Необходимо использовать правило деления обыкновенных дробей. Это выражение запишем так: 9 7: 5 3 = 9 7 · 3 5 = 9 · 3 7 · 5 = 27 35 .

Ответ: 9 7: 5 3 = 27 35 .

При сокращении дробей следует выделять целую часть, если числитель больше знаменателя.

Пример 2

Разделить 8 15: 24 65 . Ответ записать в виде дроби.

Решение

Для решения нужно перейти от деления к умножению. Запишем это в такой форме: 8 15: 24 65 = 2 · 2 · 2 · 5 · 13 3 · 5 · 2 · 2 · 2 · 3 = 13 3 · 3 = 13 9

Необходимо произвести сокращение, а это выполняется следующим образом: 8 · 65 15 · 24 = 2 · 2 · 2 · 5 · 13 3 · 5 · 2 · 2 · 2 · 3 = 13 3 · 3 = 13 9

Выделяем целую часть и получаем 13 9 = 1 4 9 .

Ответ: 8 15: 24 65 = 1 4 9 .

Деление необыкновенной дроби на натуральное число

Используем правило деления дроби на натуральное число:чтобы разделить a b на натуральное число n , необходимо умножить только знаменатель на n . Отсюда получим выражение: a b: n = a b · n .

Правило деления является следствием правила умножения. Поэтому представление натурального числа в виде дроби даст равенство такого типа: a b: n = a b: n 1 = a b · 1 n = a b · n .

Рассмотрим данное деление дроби на число.

Пример 3

Произвести деление дроби 16 45 на число 12 .

Решение

Применим правило деления дроби на число. Получим выражение вида 16 45: 12 = 16 45 · 12 .

Произведем сокращение дроби. Получим 16 45 · 12 = 2 · 2 · 2 · 2 (3 · 3 · 5) · (2 · 2 · 3) = 2 · 2 3 · 3 · 3 · 5 = 4 135 .

Ответ: 16 45: 12 = 4 135 .

Деление натурального числа на обыкновенную дробь

Правило деления аналогично правилу деления натурального числа на обыкновенную дробь: чтобы разделить натуральное число n на обыкновенную a b , необходимо произвести умножение числа n на обратное дроби a b .

Исходя из правила, имеем n: a b = n · b a , а благодаря правилу умножения натурального числа на обыкновенную дробь, получим наше выражение в виде n: a b = n · b a . Необходимо рассмотреть данное деление на примере.

Пример 4

Делить 25 на 15 28 .

Решение

Нам необходимо переходить от деления к умножению. Запишем в виде выражения 25: 15 28 = 25 · 28 15 = 25 · 28 15 . Сократим дробь и получим результат в виде дроби 46 2 3 .

Ответ: 25: 15 28 = 46 2 3 .

Деление обыкновенной дроби на смешанное число

При делении обыкновенной дроби на смешанное числолегко можно свети к делению обыкновенных дробей. Нужно совершить перевод смешанного числа в неправильную дробь.

Пример 5

Разделить дробь 35 16 на 3 1 8 .

Решение

Так как 3 1 8 — смешанное число, представим его в виде неправильной дроби. Тогда получим 3 1 8 = 3 · 8 + 1 8 = 25 8 . Теперь произведем деление дробей. Получим 35 16: 3 1 8 = 35 16: 25 8 = 35 16 · 8 25 = 35 · 8 16 · 25 = 5 · 7 · 2 · 2 · 2 2 · 2 · 2 · 2 · (5 · 5) = 7 10

Ответ: 35 16: 3 1 8 = 7 10 .

Деление смешанного числа производится таким же образом, как и обыкновенных.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Для решения различных заданий из курса математики, физики приходится производить деление дробей. Это сделать очень легко, если знать определенные правила выполнения этого математического действия.

Прежде чем перейти к формулированию правило том, как делить дроби, давайте вспомним некоторые математические термины:

  1. Верхняя часть дроби называется числителем, а нижняя – знаменателем.
  2. При делении числа называются так: делимое: делитель = частное

Как делить дроби: простые дроби

Для выполнения деления двух простых дробей следует умножить делимое на дробь, обратную делителю. Эту дробь по-другому называют еще перевернутой, потому что она получается в результате замены местами числителя и знаменателя. Например:

3/77: 1/11 = 3 /77 * 11 /1 = 3/7

Как делить дроби: смешанные дроби

Если нам предстоит разделить смешанные дроби, то здесь тоже все достаточно просто и понятно. Сначала переводим смешанную дробь в обычную неправильную дробь. Для этого умножаем знаменатель такой дроби на целое число и числитель прибавляем к полученному произведению. В итоге мы получили новый числитель смешанной дроби, а знаменатель ее останется без изменения. Дальше деление дробей будет осуществляться точно так же, как и деление простых дробей. Например:

10 2/3: 4/15 = 32/3: 4/15 = 32/3 * 15 /4 = 40/1 = 40

Как делить дробь на число

Для того чтобы разделить простую дробь на число, последнее следует написать в виде дроби (неправильной). Это сделать очень легко: на месте числителя пишется это число, а знаменатель такой дроби равен единице. Дальше деление выполняется обычным способом. Рассмотрим это на примере:

5/11: 7 = 5/11: 7/1 = 5/11 * 1/7 = 5/77

Как делить десятичные дроби

Нередко взрослый человек испытывает затруднения при необходимости без помощи калькулятора разделить целое число или десятичную дробь на десятичную дробь.

Итак, чтобы выполнить деление десятичных дробей, нужно в делителе просто зачеркнуть запятую и перестать обращать на нее внимание. В делимом запятую нужно передвинуть вправо ровно на столько знаков, сколько было в дробной части делителя, при необходимости дописывая нули. И дальше производят обычное деление на целое число. Чтобы это стало более понятно, приведем следующий пример.

Содержание урока

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями

Сложение дробей бывает двух видов:

  1. Сложение дробей с одинаковыми знаменателями
  2. Сложение дробей с разными знаменателями

Сначала изучим сложение дробей с одинаковыми знаменателями. Тут всё просто. Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить без изменения. Например, сложим дроби и . Складываем числители, а знаменатель оставляем без изменения:

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на четыре части. Если к пиццы прибавить пиццы, то получится пиццы:

Пример 2. Сложить дроби и .

В ответе получилась неправильная дробь . Если наступает конец задачи, то от неправильных дробей принято избавляться. Чтобы избавится от неправильной дроби, нужно выделить в ней целую часть. В нашем случае целая часть выделяется легко — два разделить на два равно единице:

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на две части. Если к пиццы прибавить еще пиццы, то получится одна целая пицца:

Пример 3 . Сложить дроби и .

Опять же складываем числители, а знаменатель оставляем без изменения:

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на три части. Если к пиццы прибавить ещё пиццы, то получится пиццы:

Пример 4. Найти значение выражения

Этот пример решается точно также, как и предыдущие. Числители необходимо сложить, а знаменатель оставить без изменения:

Попробуем изобразить наше решение с помощью рисунка. Если к пиццы прибавить пиццы и ещё прибавить пиццы, то получится 1 целая и ещё пиццы.

Как видите в сложении дробей с одинаковыми знаменателями ничего сложного нет. Достаточно понимать следующие правила:

  1. Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателя, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить без изменения;

Сложение дробей с разными знаменателями

Теперь научимся складывать дроби с разными знаменателями. Когда складывают дроби, знаменатели этих дробей должны быть одинаковыми. Но одинаковыми они бывают не всегда.

Например, дроби и сложить можно, поскольку у них одинаковые знаменатели.

А вот дроби и сразу сложить нельзя, поскольку у этих дробей разные знаменатели. В таких случаях дроби нужно приводить к одинаковому (общему) знаменателю.

Существует несколько способов приведения дробей к одинаковому знаменателю. Сегодня мы рассмотрим только один из них, поскольку остальные способы могут показаться сложными для начинающего.

Суть этого способа заключается в том, что сначала ищется (НОК) знаменателей обеих дробей. Затем НОК делят на знаменатель первой дроби и получают первый дополнительный множитель. Аналогично поступают и со второй дробью — НОК делят на знаменатель второй дроби и получают второй дополнительный множитель.

Затем числители и знаменатели дробей умножаются на свои дополнительные множители. В результате этих действий, дроби у которых были разные знаменатели, обращаются в дроби, у которых одинаковые знаменатели. А как складывать такие дроби мы уже знаем.

Пример 1 . Сложим дроби и

В первую очередь находим наименьшее общее кратное знаменателей обеих дробей. Знаменатель первой дроби это число 3, а знаменатель второй дроби — число 2. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 6

НОК (2 и 3) = 6

Теперь возвращаемся к дробям и . Сначала разделим НОК на знаменатель первой дроби и получим первый дополнительный множитель. НОК это число 6, а знаменатель первой дроби это число 3. Делим 6 на 3, получаем 2.

Полученное число 2 это первый дополнительный множитель. Записываем его к первой дроби. Для этого делаем небольшую косую линию над дробью и записываем над ней найденный дополнительный множитель:

Аналогично поступаем и со второй дробью. Делим НОК на знаменатель второй дроби и получаем второй дополнительный множитель. НОК это число 6, а знаменатель второй дроби — число 2. Делим 6 на 2, получаем 3.

Полученное число 3 это второй дополнительный множитель. Записываем его ко второй дроби. Опять же делаем небольшую косую линию над второй дробью и записываем над ней найденный дополнительный множитель:

Теперь у нас всё готово для сложения. Осталось умножить числители и знаменатели дробей на свои дополнительные множители:

Посмотрите внимательно к чему мы пришли. Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые знаменатели. А как складывать такие дроби мы уже знаем. Давайте дорешаем этот пример до конца:

Таким образом, пример завершается. К прибавить получается .

Попробуем изобразить наше решение с помощью рисунка. Если к пиццы прибавить пиццы, то получится одна целая пицца и еще одна шестая пиццы:

Приведение дробей к одинаковому (общему) знаменателю также можно изобразить с помощью рисунка. Приведя дроби и к общему знаменателю, мы получили дроби и . Эти две дроби будут изображаться теми же кусками пицц. Различие будет лишь в том, что в этот раз они будут разделены на одинаковые доли (приведены к одинаковому знаменателю).

Первый рисунок изображает дробь (четыре кусочка из шести), а второй рисунок изображает дробь (три кусочка из шести). Сложив эти кусочки мы получаем (семь кусочков из шести). Эта дробь неправильная, поэтому мы выделили в ней целую часть. В результате получили (одну целую пиццу и еще одну шестую пиццы).

Отметим, что мы с вами расписали данный пример слишком подробно. В учебных заведениях не принято писать так развёрнуто. Нужно уметь быстро находить НОК обоих знаменателей и дополнительные множители к ним, а также быстро умножать найденные дополнительные множители на свои числители и знаменатели. Находясь в школе, данный пример нам пришлось бы записать следующим образом:

Но есть и обратная сторона медали. Если на первых этапах изучения математики не делать подробных записей, то начинают появляться вопросы рода «а откуда вон та цифра?», «почему дроби вдруг превращаются совсем в другие дроби? «.

Чтобы легче было складывать дроби с разными знаменателями, можно воспользоваться следующей пошаговой инструкцией:

  1. Найти НОК знаменателей дробей;
  2. Разделить НОК на знаменатель каждой дроби и получить дополнительный множитель для каждой дроби;
  3. Умножить числители и знаменатели дробей на свои дополнительные множители;
  4. Сложить дроби, у которых одинаковые знаменатели;
  5. Если в ответе получилась неправильная дробь, то выделить её целую часть;

Пример 2. Найти значение выражения .

Воспользуемся инструкцией, которая приведена выше.

Шаг 1. Найти НОК знаменателей дробей

Находим НОК знаменателей обеих дробей. Знаменатели дробей это числа 2, 3 и 4

Шаг 2. Разделить НОК на знаменатель каждой дроби и получить дополнительный множитель для каждой дроби

Делим НОК на знаменатель первой дроби. НОК это число 12, а знаменатель первой дроби это число 2. Делим 12 на 2, получаем 6. Получили первый дополнительный множитель 6. Записываем его над первой дробью:

Теперь делим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 12, а знаменатель второй дроби это число 3. Делим 12 на 3, получаем 4. Получили второй дополнительный множитель 4. Записываем его над второй дробью:

Теперь делим НОК на знаменатель третьей дроби. НОК это число 12, а знаменатель третьей дроби это число 4. Делим 12 на 4, получаем 3. Получили третий дополнительный множитель 3. Записываем его над третьей дробью:

Шаг 3. Умножить числители и знаменатели дробей на свои дополнительные множители

Умножаем числители и знаменатели на свои дополнительные множители:

Шаг 4. Сложить дроби у которых одинаковые знаменатели

Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби, у которых одинаковые (общие) знаменатели. Осталось сложить эти дроби. Складываем:

Сложение не поместилось на одной строке, поэтому мы перенесли оставшееся выражение на следующую строку. Это допускается в математике. Когда выражение не помещается на одну строку, его переносят на следующую строку, при этом надо обязательно поставить знак равенства (=) на конце первой строки и в начале новой строки. Знак равенства на второй строке говорит о том, что это продолжение выражения, которое было на первой строке.

Шаг 5. Если в ответе получилась неправильная дробь, то выделить в ней целую часть

У нас в ответе получилась неправильная дробь. Мы должны выделить у неё целую часть. Выделяем:

Получили ответ

Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Вычитание дробей бывает двух видов:

  1. Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
  2. Вычитание дробей с разными знаменателями

Сначала изучим вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. Тут всё просто. Чтобы вычесть из одной дроби другую, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить прежним.

Например, найдём значение выражения . Чтобы решить этот пример, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить без изменения. Так и сделаем:

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на четыре части. Если от пиццы отрезать пиццы, то получится пиццы:

Пример 2. Найти значение выражения .

Опять же из числителя первой дроби вычитаем числитель второй дроби, а знаменатель оставляем без изменения:

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на три части. Если от пиццы отрезать пиццы, то получится пиццы:

Пример 3. Найти значение выражения

Этот пример решается точно также, как и предыдущие. Из числителя первой дроби нужно вычесть числители остальных дробей:

Как видите в вычитании дробей с одинаковыми знаменателями ничего сложного нет. Достаточно понимать следующие правила:

  1. Чтобы вычесть из одной дроби другую, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить без изменения;
  2. Если в ответе получилась неправильная дробь, то нужно выделить в ней целую часть.

Вычитание дробей с разными знаменателями

Например, от дроби можно вычесть дробь , поскольку у этих дробей одинаковые знаменатели. А вот от дроби нельзя вычесть дробь , поскольку у этих дробей разные знаменатели. В таких случаях дроби нужно приводить к одинаковому (общему) знаменателю.

Общий знаменатель находят по тому же принципу, которым мы пользовались при сложении дробей с разными знаменателями. В первую очередь находят НОК знаменателей обеих дробей. Затем НОК делят на знаменатель первой дроби и получают первый дополнительный множитель, который записывается над первой дробью. Аналогично НОК делят на знаменатель второй дроби и получают второй дополнительный множитель, который записывается над второй дробью.

Затем дроби умножаются на свои дополнительные множители. В результате этих операций, дроби у которых были разные знаменатели, обращаются в дроби, у которых одинаковые знаменатели. А как вычитать такие дроби мы уже знаем.

Пример 1. Найти значение выражения:

У этих дробей разные знаменатели, поэтому нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю.

Сначала находим НОК знаменателей обеих дробей. Знаменатель первой дроби это число 3, а знаменатель второй дроби — число 4. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 12

НОК (3 и 4) = 12

Теперь возвращаемся к дробям и

Найдём дополнительный множитель для первой дроби. Для этого разделим НОК на знаменатель первой дроби. НОК это число 12, а знаменатель первой дроби — число 3. Делим 12 на 3, получаем 4. Записываем четвёрку над первой дробью:

Аналогично поступаем и со второй дробью. Делим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 12, а знаменатель второй дроби — число 4. Делим 12 на 4, получаем 3. Записываем тройку над второй дробью:

Теперь у нас всё готово для вычитания. Осталось умножить дроби на свои дополнительные множители:

Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые знаменатели. А как вычитать такие дроби мы уже знаем. Давайте дорешаем этот пример до конца:

Получили ответ

Попробуем изобразить наше решение с помощью рисунка. Если от пиццы отрезать пиццы, то получится пиццы

Это подробная версия решения. Находясь в школе, нам пришлось бы решить этот пример покороче. Выглядело бы такое решение следующим образом:

Приведение дробей и к общему знаменателю также может быть изображено с помощью рисунка. Приведя эти дроби к общему знаменателю, мы получили дроби и . Эти дроби будут изображаться теми же кусочками пицц, но в этот раз они будут разделены на одинаковые доли (приведены к одинаковому знаменателю):

Первый рисунок изображает дробь (восемь кусочков из двенадцати), а второй рисунок — дробь (три кусочка из двенадцати). Отрезав от восьми кусочков три кусочка мы получаем пять кусочков из двенадцати. Дробь и описывает эти пять кусочков.

Пример 2. Найти значение выражения

У этих дробей разные знаменатели, поэтому сначала нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю.

Найдём НОК знаменателей этих дробей.

Знаменатели дробей это числа 10, 3 и 5. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 30

НОК (10, 3, 5) = 30

Теперь находим дополнительные множители для каждой дроби. Для этого разделим НОК на знаменатель каждой дроби.

Найдём дополнительный множитель для первой дроби. НОК это число 30, а знаменатель первой дроби — число 10. Делим 30 на 10, получаем первый дополнительный множитель 3. Записываем его над первой дробью:

Теперь находим дополнительный множитель для второй дроби. Разделим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 30, а знаменатель второй дроби — число 3. Делим 30 на 3, получаем второй дополнительный множитель 10. Записываем его над второй дробью:

Теперь находим дополнительный множитель для третьей дроби. Разделим НОК на знаменатель третьей дроби. НОК это число 30, а знаменатель третьей дроби — число 5. Делим 30 на 5, получаем третий дополнительный множитель 6. Записываем его над третьей дробью:

Теперь всё готово для вычитания. Осталось умножить дроби на свои дополнительные множители:

Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые (общие) знаменатели. А как вычитать такие дроби мы уже знаем. Давайте дорешаем этот пример.

Продолжение примера не поместится на одной строке, поэтому переносим продолжение на следующую строку. Не забываем про знак равенства (=) на новой строке:

В ответе получилась правильная дробь, и вроде бы нас всё устраивает, но она слишком громоздка и некрасива. Надо бы сделать её проще. А что можно сделать? Можно сократить эту дробь.

Чтобы сократить дробь , нужно разделить её числитель и знаменатель на (НОД) чисел 20 и 30.

Итак, находим НОД чисел 20 и 30:

Теперь возвращаемся к нашему примеру и делим числитель и знаменатель дроби на найденный НОД, то есть на 10

Получили ответ

Умножение дроби на число

Чтобы умножить дробь на число, нужно числитель данной дроби умножить на это число, а знаменатель оставить прежним.

Пример 1 . Умножить дробь на число 1 .

Умножим числитель дроби на число 1

Запись можно понимать, как взять половину 1 раз. К примеру, если пиццы взять 1 раз, то получится пиццы

Из законов умножения мы знаем, что если множимое и множитель поменять местами, то произведение не изменится. Если выражение , записать как , то произведение по прежнему будет равно . Опять же срабатывает правило перемножения целого числа и дроби:

Эту запись можно понимать, как взятие половины от единицы. К примеру, если имеется 1 целая пицца и мы возьмем от неё половину, то у нас окажется пиццы:

Пример 2 . Найти значение выражения

Умножим числитель дроби на 4

В ответе получилась неправильная дробь. Выделим в ней целую часть:

Выражение можно понимать, как взятие двух четвертей 4 раза. К примеру, если пиццы взять 4 раза, то получится две целые пиццы

А если поменять множимое и множитель местами, то получим выражение . Оно тоже будет равно 2. Это выражение можно понимать, как взятие двух пицц от четырех целых пицц:

Умножение дробей

Чтобы перемножить дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели. Если в ответе получится неправильная дробь, нужно выделить в ней целую часть.

Пример 1. Найти значение выражения .

Получили ответ . Желательно сократить данную дробь. Дробь можно сократить на 2. Тогда окончательное решение примет следующий вид:

Выражение можно понимать, как взятие пиццы от половины пиццы. Допустим, у нас есть половина пиццы:

Как взять от этой половины две третьих? Сначала нужно поделить эту половину на три равные части:

И взять от этих трех кусочков два:

У нас получится пиццы. Вспомните, как выглядит пицца, разделенная на три части:

Один кусок от этой пиццы и взятые нами два кусочка будут иметь одинаковые размеры:

Другими словами, речь идет об одном и том же размере пиццы. Поэтому значение выражения равно

Пример 2 . Найти значение выражения

Умножаем числитель первой дроби на числитель второй дроби, а знаменатель первой дроби на знаменатель второй дроби:

В ответе получилась неправильная дробь. Выделим в ней целую часть:

Пример 3. Найти значение выражения

Умножаем числитель первой дроби на числитель второй дроби, а знаменатель первой дроби на знаменатель второй дроби:

В ответе получилась правильная дробь, но будет хорошо, если её сократить. Чтобы сократить эту дробь, нужно числитель и знаменатель данной дроби разделить на наибольший общий делитель (НОД) чисел 105 и 450.

Итак, найдём НОД чисел 105 и 450:

Теперь делим числитель и знаменатель нашего ответа на НОД, который мы сейчас нашли, то есть на 15

Представление целого числа в виде дроби

Любое целое число можно представить в виде дроби. Например, число 5 можно представить как . От этого пятёрка своего значения не поменяет, поскольку выражение означает «число пять разделить на единицу», а это, как известно равно пятёрке:

Обратные числа

Сейчас мы познакомимся с очень интересной темой в математике. Она называется «обратные числа».

Определение. Обратным к числу a называется число, которое при умножении на a даёт единицу.

Давайте подставим в это определение вместо переменной a число 5 и попробуем прочитать определение:

Обратным к числу 5 называется число, которое при умножении на 5 даёт единицу.

Можно ли найти такое число, которое при умножении на 5, даёт единицу? Оказывается можно. Представим пятёрку в виде дроби:

Затем умножить эту дробь на саму себя, только поменяем местами числитель и знаменатель. Другими словами, умножим дробь на саму себя, только перевёрнутую:

Что получится в результате этого? Если мы продолжим решать этот пример, то получим единицу:

Значит обратным к числу 5, является число , поскольку при умножении 5 на получается единица.

Обратное число можно найти также для любого другого целого числа.

Найти обратное число можно также для любой другой дроби. Для этого достаточно перевернуть её.

Деление дроби на число

Допустим, у нас имеется половина пиццы:

Разделим её поровну на двоих. Сколько пиццы достанется каждому?

Видно, что после разделения половины пиццы получилось два равных кусочка, каждый из которых составляет пиццы. Значит каждому достанется по пиццы.

Деление дробей выполняется с помощью обратных чисел. Обратные числа позволяют заменить деление умножением.

Чтобы разделить дробь на число, нужно эту дробь умножить на число, обратное делителю.

Пользуясь этим правилом, запишем деление нашей половины пиццы на две части.

Итак, требуется разделить дробь на число 2 . Здесь делимым является дробь , а делителем число 2.

Чтобы разделить дробь на число 2, нужно эту дробь умножить на число, обратное делителю 2. Обратное делителю 2 это дробь . Значит нужно умножить на

В прошлый раз мы научились складывать и вычитать дроби (см. урок «Сложение и вычитание дробей »). Наиболее сложным моментом в тех действиях было приведение дробей к общему знаменателю.

Теперь настала пора разобраться с умножением и делением. Хорошая новость состоит в том, что эти операции выполняются даже проще, чем сложение и вычитание. Для начала рассмотрим простейший случай, когда есть две положительные дроби без выделенной целой части.

Чтобы умножить две дроби, надо отдельно умножить их числители и знаменатели. Первое число будет числителем новой дроби, а второе — знаменателем.

Чтобы разделить две дроби, надо первую дробь умножить на «перевернутую» вторую.

Обозначение:

Из определения следует, что деление дробей сводится к умножению. Чтобы «перевернуть» дробь, достаточно поменять местами числитель и знаменатель. Поэтому весь урок мы будем рассматривать в основном умножение.

В результате умножения может возникнуть (и зачастую действительно возникает) сократимая дробь — ее, разумеется, надо сократить. Если после всех сокращений дробь оказалась неправильной, в ней следует выделить целую часть. Но чего точно не будет при умножении, так это приведения к общему знаменателю: никаких методов «крест-накрест», наибольших множителей и наименьших общих кратных.

По определению имеем:

Умножение дробей с целой частью и отрицательных дробей

Если в дробях присутствует целая часть, их надо перевести в неправильные — и только затем умножать по схемам, изложенным выше.

Если в числителе дроби, в знаменателе или перед ней стоит минус, его можно вынести за пределы умножения или вообще убрать по следующим правилам:

  1. Плюс на минус дает минус;
  2. Минус на минус дает плюс.

До сих пор эти правила встречались только при сложении и вычитании отрицательных дробей, когда требовалось избавиться от целой части. Для произведения их можно обобщить, чтобы «сжигать» сразу несколько минусов:

  1. Вычеркиваем минусы парами до тех пор, пока они полностью не исчезнут. В крайнем случае, один минус может выжить — тот, которому не нашлось пары;
  2. Если минусов не осталось, операция выполнена — можно приступать к умножению. Если же последний минус не зачеркнут, поскольку ему не нашлось пары, выносим его за пределы умножения. Получится отрицательная дробь.

Задача. Найдите значение выражения:

Все дроби переводим в неправильные, а затем выносим минусы за пределы умножения. То, что осталось, умножаем по обычным правилам. Получаем:

Еще раз напомню, что минус, который стоит перед дробью с выделенной целой частью, относится именно ко всей дроби, а не только к ее целой части (это касается двух последних примеров).

Также обратите внимание на отрицательные числа: при умножении они заключаются в скобки. Это сделано для того, чтобы отделить минусы от знаков умножения и сделать всю запись более аккуратной.

Сокращение дробей «на лету»

Умножение — весьма трудоемкая операция. Числа здесь получаются довольно большие, и чтобы упростить задачу, можно попробовать сократить дробь еще до умножения . Ведь по существу, числители и знаменатели дробей — это обычные множители, и, следовательно, их можно сокращать, используя основное свойство дроби. Взгляните на примеры:

Задача. Найдите значение выражения:

По определению имеем:

Во всех примерах красным цветом отмечены числа, которые подверглись сокращению, и то, что от них осталось.

Обратите внимание: в первом случае множители сократились полностью. На их месте остались единицы, которые, вообще говоря, можно не писать. Во втором примере полного сокращения добиться не удалось, но суммарный объем вычислений все равно уменьшился.

Однако ни в коем случае не используйте этот прием при сложении и вычитании дробей! Да, иногда там встречаются похожие числа, которые так и хочется сократить. Вот, посмотрите:

Так делать нельзя!

Ошибка возникает из-за того, что при сложении в числителе дроби появляется сумма, а не произведение чисел. Следовательно, применять основное свойство дроби нельзя, поскольку в этом свойстве речь идет именно об умножении чисел.

Других оснований для сокращения дробей просто не существует, поэтому правильное решение предыдущей задачи выглядит так:

Правильное решение:

Как видите, правильный ответ оказался не таким красивым. В общем, будьте внимательны.

Сложение и вычитание дробей

То, каким образом мы будем складывать или вычитать дроби, напрямую зависит от знаменателей этих дробей. Самое простое: сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. С него и начнем.

Cложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Вспоминаем законы сложения дробей из четвертого класса.

Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить прежним.
Чтобы вычесть друг из друга дроби с одинаковыми знаменателями, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить прежним.

Убедимся в справедливости этого высказывания на примере. Разделим круг на 5 равных частей. Возьмем из этих пяти 1-у часть и 2 части. Сложим. Вместе они составят 3 части. А поскольку изначально круг был разделен на 5 таких частей, то это 3/5 круга.

1/5 + 2/5 = 3/5

Уберем из целого круга 2 зеленые части (2/5). Останется 3 части (3/5).

5/5 — 2/5 = 3/5

Но если знаменатели разные, то ни сложить, ни вычесть такие дроби сразу нельзя.

Можно складывать и вычитать дроби только с одинаковыми знаменателями.

При сложении смешанных дробей отдельно складываются/вычитаются целые части, отдельно дробные, и опять же только при условии одинаковых знаменателей у дробных частей.

$5\frac27+3\frac17=(5+3)+(\frac27+\frac17)=8+\frac37=8\frac37$
$5\frac27-3\frac17=(5-3)+(\frac27-\frac17)=2+\frac17=2\frac17$

Если при вычитании смешанных дробей складывается такая ситуация, что числитель первой дробной части (уменьшаемое) меньше числителя второй (вычитаемого), то нужно взять единичку от целой части первого числа, представить ее в виде дроби с тем же знаменателем, что и у дробной части, и прибавить эту дробь к дробной части. Целая часть станет на единицу меньше, а дробная будет теперь представлять собой неправильную дробь (числитель больше знаменателя). Зато легко можно будет провести вычитание.

$5\frac17-3\frac27=\mathit4\mathit+\mathit1\mathit+\frac{\mathit1}{\mathit7}\mathit-\mathit3\frac{\mathit2}{\mathit7}\mathit=\mathit4\mathit+\frac{\mathit7}{\mathit7}\mathit+\frac{\mathit1}{\mathit7}\mathit-\mathit3\frac{\mathit2}{\mathit7}=4\frac87-3\frac27=(4-3)+(\frac87-\frac27)=1+\frac67=1\frac67$

Что же делать, если знаменатели разные? Разберемся.

Cложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Как мы с вам выяснили, складывать и вычитать дроби с разными знаменателями так сразу нельзя. Значит нужно сделать так, чтобы знаменатели у них стали одинаковыми. Как это сделать? Вспоминаем основное свойство дроби. Если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же число, значение дроби не изменится. С помощью этого закона мы и приведем дроби к одинаковому знаменателю, а дальше их можем складывать или вычитать.

Итак, чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, надо привести их к общему знаменателю, а затем применить правила сложения или вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.1}{\cancel6_2}=\frac12$

Чтобы привести дроби к одинаковому знаменателю, принято находить наименьший общий знаменатель, а это то же самое, что наименьшее общее кратное (НОК) этих знаменателей. Вспомним, как находить НОК, статья по ссылке >>

$\frac59+\frac16=?$

9 | 3   6 | 2
3 | 3   3 | 3
1 |      1
НОК(6;9) = 3 * 3 * 2 = 18

$\frac59+\frac16=\frac{5\ast2}{9\ast2}+\frac{1\ast3}{6\ast3}=\frac{10}{18}+\frac3{18}=\frac{13}{18}$

Еще примеры:

Если в результате сложения или вычитания получается неправильная дробь, нужно перевести ее в смешанную. Если  получается сократимая дробь, результат необходимо сократить.

Вспоминаем: чтобы сократить дробь, нужно разделить ее числитель и знаменатель на одно и то же число — наибольший общий делитель (НОД). Статья о том, как найти НОД по ссылке >>

Для дробей, как и для натуральных чисел, выполняются переместительное и сочетательное свойства сложения:

$\frac ab+\frac cd=\frac cd+\frac ab$
$(\frac ab+\frac cd)+\frac pq=\frac ab+(\frac cd+\frac pq)$

Их нужно применять в заданиях на нахождение наиболее простого способа сложения нескольких дробей.

Пример. Вычислите значение выражения наиболее удобным способом:

Если все равно что-то в теме не поняли, задавайте вопросы в комментариях.

Деление дробей. Правила. Примеры. — tutomath репетитор по математике

Следующее действие, которое можно выполнять с дробями это деление. Выполнять деление дробей достаточно просто главное знать несколько правил деления. Разберем правила деления и рассмотрим решение примеров на данную тему.

Деление дроби на дробь.

Чтобы делить дробь на дробь, нужно дробь, которая является делителем перевернуть, то есть получить обратную дробь делителю и потом выполнить умножение дробей.

\(\bf \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}\\\)

Пример:

Выполните деление обыкновенных дробей  .

Деление дроби на число.

Чтобы разделить дробь на число, нужно знаменатель дроби умножить на число.

\(\bf \frac{a}{b} \div n = \frac{a}{b} \div \frac{n}{1} = \frac{a}{b} \times \frac{1}{n}\\\)

Рассмотрим пример:

Выполните деления дроби на натуральное число \(\frac{4}{7} \div 3\).

Как мы уже знаем, что любое число можно представить в виде дроби \(3 = \frac{3}{1} \).

\(\frac{4}{7} \div 3 = \frac{4}{7} \div \frac{3}{1} = \frac{4}{7} \times \frac{1}{3} = \frac{4 \times 1}{7 \times 3} = \frac{4}{21}\\\)

Деление числа на дробь.

Чтобы поделить число на дробь, нужно знаменатель делителя умножить на число, а числитель делителя записать в знаменатель. То есть дробь делитель перевернуть.

Рассмотрим пример:

Выполните деление числа на дробь.

Деление смешанных дробей.

Перед тем как приступить к делению смешанных дробей, их нужно перевести в неправильную дробь, а дальше выполнить деление по правилу деления дроби на дробь.

Пример:

Выполните деление смешанных дробей.

\(2\frac{3}{4} \div 3\frac{1}{6} = \frac{11}{4} \div \color{red} {\frac{19}{6}} = \frac{11}{4} \times \color{red} {\frac{6}{19}} = \frac{11 \times 6}{4 \times 19} = \frac{11 \times \color{red} {2} \times 3}{2 \times \color{red} {2} \times 19} = \frac{33}{38}\\\)

Деление числа на число.

Чтобы поделить простые числа, нужно представить их в виде дроби  и выполнить деление по правилам деления дроби на дробь.

Пример:

\(2 \div 5 = \frac{2}{1} \div \color{red} {\frac{5}{1}} = \frac{2}{1} \times \color{red} {\frac{1}{5}} = \frac{2 \times 1}{1 \times 5} = \frac{2}{5}\\\)

Примечание к теме деление дробей:
На нуль делить нельзя.

Вопросы по теме:
Как делить дроби? Как разделить дробь на дробь?
Ответ: дроби делятся так, первую дробь делимое умножаем на дробь обратную дроби делителя.

Как делить дроби с разными знаменателями?
Ответ: не важно одинаковые или разные знаменатели у дробей, все дроби делятся по правилу деления дроби на дробь.

Пример №1:
Выполните деление и назовите делитель, дробь, обратную делителю: а) \(\frac{5}{9} \div \frac{8}{13}\) б) \(2\frac{4}{5} \div 1\frac{7}{8}\)

Решение:
а) \(\frac{5}{9} \div \frac{8}{13} = \frac{5}{9} \times \frac{13}{8} = \frac{65}{72}\\\\\)

\( \frac{8}{13}\) – делитель, \( \frac{13}{8}\) – обратная дробь делителя.

б) \(2\frac{4}{5} \div 1\frac{7}{8} = \frac{14}{5} \div \frac{15}{8} = \frac{14}{5} \times \frac{8}{15} = \frac{14 \times 8}{5 \times 15} = \frac{112}{75} = 1\frac{37}{75}\\\\\)

\( \frac{15}{8}\) – делитель, \( \frac{8}{15}\) – обратная дробь делителя.

Пример №2:
Вычислите деление: а) \(5 \div 1\frac{1}{4}\) б) \(9\frac{2}{3} \div 8\)

Решение:

а) \(5 \div 1\frac{1}{4} = \frac{5}{1} \div \frac{5}{4} = \frac{5}{1} \times \frac{4}{5} = \frac{\color{red} {5} \times 4}{1 \times \color{red} {5}} = \frac{4}{1} = 4 \\\\\)

б) \(9\frac{2}{3} \div 8 = \frac{29}{3} \div \frac{8}{1} = \frac{29}{3} \times \frac{1}{8} = \frac{29 \times 1}{3 \times 8} = \frac{29}{24} = 1\frac{5}{24}\\\\\)

Как создавать дроби в Microsoft Word

Дроби чаще всего используются в Word, когда речь идет о математических решениях, рецептах и ​​финансовых отчетах.

Вы можете просто ввести 1/2 и довольствоваться большими числами, однако для некоторых отраслей и отчетов следует использовать более совершенную и профессиональную дробь, например ½.

Если вы работаете с версией Microsoft Word 2019 или более поздней версии, программа может автоматически преобразовать ваши большие числа в дроби с помощью автозамены.

Если вам не повезло, для вас есть решение!

Microsoft предлагает 2 способа вставки дроби:

  1. Включить автоматическое форматирование обыкновенных дробей
  2. Использовать инструмент уравнения для вставки пользовательской дроби

1. Включение автоматического форматирования дробей

  1. Нажмите формат
  2. Click Уравнения
  3. Под уравнениями Выбрать автоматически конвертировать выражения
  4. Перейти к Файл > Параметры > Vectoring (или Word > Настройки в Word для Mac).
  5. Нажмите  Параметры автозамены  и выберите вкладку Автоформат при вводе (или Авторизация и проверка правописания  >  Автозамена в Word для Mac).
  6. Установите или снимите флажок для дробей под Заменять при вводе…
  7. Нажмите OK , чтобы сохранить настройки автозамены.

2. Используйте инструмент Equation Tool, чтобы вставить пользовательскую дробь

  1. Нажмите вставка
  2. Click Уравнение
  1. Щелкните вставку новое уравнение
  2. Выбор фракции
  1. Щелксы Перекошенная фракция
  1. Добавьте Числитель и знаменатель ящик для фракций
  1. Нажмите Введите

Ищете лучший способ управления отслеживаемыми изменениями в Word?

Если вы работаете в Microsoft Word, скорее всего, вы разослали документ своей команде на проверку.Получение обратно файла, покрытого отслеживаемыми изменениями, красными метками и, кажется, миллионом комментариев для просмотра.

Начать просмотр каждого изменения по одному или отсортировать изменения и просмотреть только те, которые отмечены членами вашей команды или имеют отношение к вашей области знаний, может оказаться непростой задачей.

Это сложный и очень ручной процесс, но, к счастью для вас, есть способ получше.

Представляем Simul Docs.

Специализированный инструмент, созданный для вас — команды, которая любит сотрудничать, редактировать и отслеживать изменения, но хочет, чтобы это было намного проще.

Во-первых, вам даже не нужно помнить о включении отслеживания изменений при работе с Simul Docs на вашей стороне.

Если вы начнете вносить изменения в свой общий документ Word, Simul знает, что вы хотите, чтобы эти изменения отслеживались, поэтому он делает это за вас, каждый раз, когда вы можете спокойно вносить изменения, пока Simul выполняет тяжелую работу за вас.

Как насчет управления правками нескольких пользователей в одном и том же документе, неужели это так сложно с Simul Docs?

Как вы уже догадались, это не так, у Simul есть решение и для этого.

Каждый пользовательский документ будет сохранен в виде аккуратной новой версии, которая будет храниться сбоку от вашей информационной панели в удобном для использования списке версий. Затем вы можете открыть каждую версию на досуге и принять или отклонить изменения каждого автора в отдельности.

Это не означает, что вы получите 5 разных версий, Simul позаботится о том, чтобы все документы оставались актуальными. Если Аарон вносит изменения в файл, остальная часть команды может видеть их вживую.

Они могут вносить изменения одновременно или даже вносить изменения вместо изменений Аарона, и все это будет сохранено в их собственной версии.Таким образом, сотрудничество становится простым. После того, как вы одобрите или отклоните все изменения, у вас останется чистая, свежая, новая версия, готовая для продолжения процесса или окончательной доработки документа.

Чтобы упростить задачу, Simul отмечает, кто какие изменения внес и когда. С первого взгляда вы знаете, какой документ был обновлен кем, это простая функция, которая имеет огромное значение, когда вы сотрудничаете с более чем одним или двумя другими людьми.

Наконец, Simul сохранит для вас каждую версию в файле, сохраненном в изящном списке версий, о котором мы упоминали ранее.

Таким образом, Simul упрощает процесс совместной работы и помогает вам управлять контролем версий так, как вы никогда раньше не видели. Каждая версия сохраняется в списке версий с номером версии, именем автора и любыми видимыми изменениями, чтобы вам было легко вернуться к старой версии или найти старое изменение в любое время.

Черт возьми, насколько проще стало отмечать изменения, отслеживать изменения и контролировать версии?

Это фантастический инструмент, который поможет вам и упростит совместную работу.

Если вы еще не пробовали, зайдите на simuldoc.com и начните с бесплатной пробной версии. Ваша команда будет любить вас.

Как делать дроби на калькуляторе iPhone двумя способами

  • Вы можете вычислять дроби на своем калькуляторе iPhone двумя разными способами.
  • Когда вы перевернете свой iPhone-калькулятор на бок — переключив его в макет научного калькулятора — вы сможете использовать больше функций, например, кнопку 1/x для деления значений дробей.
  • Посетите домашнюю страницу Business Insider, чтобы узнать больше.

Когда вы держите iPhone вертикально в стандартном портретном режиме и используете встроенное приложение «Калькулятор», у вас будет возможность выполнять основные математические уравнения, такие как сложение, вычитание и тому подобное.

Тем не менее, вы можете улучшить тип математических уравнений, которые вы можете проводить, наклонив калькулятор вашего iPhone вбок, чтобы получить доступ к раскладке научного калькулятора в ландшафтном режиме, что позволяет вам выполнять математические формулы, такие как дроби или квадратные корни.

Вот как это сделать.

Ознакомьтесь с продуктами, упомянутыми в этой статье:
iPhone 11 (от 699,99 долларов в Best Buy)

Как считать дроби на калькуляторе iPhone

1. Запустите приложение «Калькулятор», расположенное на вашем iPhone.

2. После запуска приложения поверните iPhone на бок, чтобы перевести его в ландшафтный режим. В левой части экрана появятся дополнительные функции.

Вам нужно будет перевести телефон в ландшафтный режим, чтобы делать дроби на iPhone. Тейлор Лайлз/Business Insider

3. Когда вы будете готовы вычислять дроби, введите число, которое вы хотите преобразовать в дробь. Затем вы можете нажать кнопку 1/x, чтобы поместить это число в знаменатель (числитель будет равен 1) и получить значение дроби.

Вы можете рассчитать дробь 1/x или разделить два числа вместе, чтобы получить дроби на калькуляторе iPhone.Тейлор Лайлз/Business Insider

4. Значение дроби, в числителе которой нет 1, можно вычислить с помощью кнопки деления. В частности, формулу можно выполнить, введя значение числителя, нажав клавишу деления, а затем введя значение знаменателя. Когда вы нажмете кнопку равенства (=), вы получите значение дроби.

 

Создание фракций в Google Slides и Drawings

Как предыдущий учитель математики, я всегда неравнодушен к проблемам, возникающим при попытке использовать технологию в математике .Обычная болевая точка связана с попыткой поместить дробей или смешанных чисел в документ Google или слайд-шоу или что-то подобное.

Добавить обычный текст, цифры и символы очень просто. Однако все становится сложнее, когда вы пытаетесь правильно представить числитель над знаменателем в программе, которая хочет, чтобы вы печатали только слева направо.

К счастью для Google Docs и Google Forms, вы можете использовать надстройку, такую ​​как g(Math), которая позволит вам создать дробь или смешанное число, а затем превратить его в изображение, которое вы можете добавить в документ или форму.Получите g(Math) для Документов или g(Math) для Форм.

К сожалению, Google Slides и Drawings пока не поддерживают надстройки (пожалуйста, Google!). Поэтому, если вы хотите добавить дробь или смешанное число в слайд-шоу презентацию или рисунок диаграмму, вам нужно проявить немного творчества.

Один из вариантов — использовать таблицы с небольшими изменениями. См. ниже инструкции о том, как это сделать, а также бесплатный шаблон с множеством готовых дробей и смешанных чисел, которые вы можете копировать, вставлять и редактировать по мере необходимости.

Шаблон дроби

Чтобы помочь вам сэкономить время, я создал шаблон Google Slides , в котором есть несколько готовых дробей и смешанные числа . Я сделал их в нескольких размерах, чтобы вам было из чего выбрать. Вот как его использовать:

Во-первых, получите собственную копию шаблона фракций, нажав на ссылку ниже.


Теперь, когда у вас есть собственная копия шаблона, сделайте следующее:
  • Нажмите на фракцию образца или смешанный номер , который вы хотели бы использовать, в зависимости от желаемого размера.
  • Убедитесь, что вы выбрали элемент, нажав на синюю границу вокруг края, а не просто щелкнув внутри дроби. Если все сделано правильно, граница будет сплошной и внутри границ не будет мигающего курсора.
  • Теперь скопируйте дробь или смешанное число (« Редактировать «, затем « Копировать «, или щелкните правой кнопкой мыши и « Скопируйте «, или « Ctrl » и « C

    «)

  • Затем перейдите к Google Slideshow или Google Drawing, над которым вы работаете.
  • Вставьте скопированную дробь или смешанное число в слайд-шоу или рисунок (« Редактировать «, затем « Вставить «, или щелкните правой кнопкой мыши и « Вставьте «, или « Ctrl » и «» 8 В «)
  • Щелкните внутри дроби или смешанного числа и введите нужные числа .
  • Наконец, вы можете переместить элемент в любое место на слайде или чертеже, щелкнув границу и перетащив .

Создание дробей с помощью таблиц

Если вместо этого вы хотите создать дроби самостоятельно , вот основные шаги, которые я предпринял, чтобы сделать свою:

  • В верхней строке меню нажмите « Таблица », а затем « Вставить таблицу «.
  • Для дроби выберите таблицу 1 на 2 .
  • Для смешанного числа выберите таблицу 2 на 2 .
  • При необходимости отрегулируйте ширину таблицы, перетащив боковую границу .
  • Если сделать смешанное число , щелкните и перетащите , выберите первый столбец таблицы, затем нажмите « Таблица » и « Объединить ячейки ». Это сделает левый столбец одной большой ячейкой для всего числа.
  • Теперь введите нужные числа для числителя, знаменателя и целого числа (при необходимости).
  • Вы можете изменить шрифт, размер шрифта, цвет шрифта и т.д. как обычно.
  • Если вы хотите центрировать весь номер по вертикали , щелкните в ячейке, а затем используйте кнопку « Выровнять » в верхнем меню.
  • Чтобы удалить границы , выберите всю дробь или целое число, затем нажмите кнопку « Цвет линии » на панели инструментов и выберите « Прозрачный ».
  • Чтобы снова добавить дробную черту, щелкните в ячейке числителя , щелкните стрелку вниз в правом верхнем углу ячейки и выберите нижнюю границу . Теперь снова используйте кнопку « Цвет линии », но на этот раз выберите черный или другой желаемый цвет.


Теперь вы составили свою собственную дробь или смешанное число, которое вы можете использовать по своему усмотрению.

Заключение

К счастью, инструменты Google становятся все более и более удобными для пользователей благодаря большему количеству опций для естественного рукописного ввода и гибкого форматирования. Однако для задач, которые все еще непросты, мы можем проявить творческий подход, чтобы найти способы представления математики в цифровой среде.

Сообщение Эрика Куртса. Пригласите меня в свою школу, организацию или на конференцию с более чем 50 сеансами PD на выбор.Свяжитесь со мной в Твиттере: twitter.com/ericcurts и в Google+: plus.google.com/+EricCurts1

Как писать дроби в Документах Google

Когда вы работаете в Google Docs, могут возникнуть ситуации, когда вам потребуется вставить в документ дроби.

Если вы новичок или никогда не делали этого раньше, вам может быть интересно, как это делается.

К счастью, есть несколько простых способов сделать это.

В этом уроке я покажу вам, как писать дроби в Документах Google.

Написание дробей в Документах Google

Если вы просто пытаетесь вставить в документ простую дробь, Документы Google автоматически преобразуют число в дробь, когда вы поместите диагональную линию между числителем и знаменателем.

Вот шаги для этого:

1. Откройте документ Google и щелкните там, где хотите разместить дробь

.

2. Введите первое число (числитель) вашей дроби

3. Введите диагональную линию (символ дроби)

4.Введите второе число (знаменатель)

5. Нажмите Enter на клавиатуре, и введенное вами число автоматически преобразуется в дробь

.

Создание дробей с использованием специальных символов

Другой способ добавления дробей в Документы Google — вставка специальных символов.

Вот как это делается:

1. Выберите в своем документе Google, где вы хотите, чтобы дробь отображалась

2. В верхнем меню выберите Insert

3. В раскрывающемся меню выберите Специальные символы

.

4.В настройках «Вставка специальных символов» установите для него значение «Число и дроби/связанные». Здесь вы найдете список дробей, и вы можете выбрать из списка, чтобы получить дробь в вашем документе

Заключительные мысли

Существует еще больше способов создания дробей в Документах Google, чем я описал в этом посте, однако методы, которые я показал, вероятно, самые простые.

Ввод чисел и разделение их диагональной линией — самый простой способ, который дает вам больше контроля над точной дробью.

Однако, если вы просто хотите выбрать из списка дробей, хорошим вариантом будет использование метода вставки символа.

Дополнительные руководства по Google Docs:
Как писать на изображении
Как добавлять галочки
Как делать экспоненты

Преобразование процентов, десятичных знаков и дробей

Урок 4. Преобразование процентов, десятичных знаков и дробей

/en/percents/percentages-in-real-life/content/

Преобразование дробей, десятичных знаков и процентов

Когда мы говорим, мы часто используем разные слова, чтобы выразить одно и то же.Например, мы можем описать один и тот же автомобиль как крошечный или маленький или маленький . Все эти слова означают, что машина не большая. Дроби, десятичные числа и проценты похожи на слова крошечный , маленький и маленький . Все они просто разные способы выражения частей целых .

На этом изображении в каждой мерной чашке одинаковое количество сока. Но мы выразили эту сумму тремя способами: в виде дроби, в процентах и ​​в виде десятичной дроби.Поскольку они выражают одно и то же количество, мы знаем, что 1/2, 50% и 0,5 равны друг другу. Каждый раз, когда мы видим 1/2, мы знаем, что это также может означать 50% или 0,5.

Иногда полезно преобразовать один вид числа в другой. Например, гораздо проще сложить 1/4 и 0,5, если превратить 0,5 в дробь. Изучение того, как преобразовывать дроби, десятичные числа и проценты, также поможет вам в изучении более сложной математики.

Дроби и десятичные дроби

Каждая дробь может быть записана как десятичная и наоборот.Возможно, вы не будете делать это очень часто, но преобразование десятичных и дробных чисел может помочь вам в математике. Например, проще вычесть 1/6 из 0,52, если сначала превратить 1/6 в десятичную дробь.

Преобразование дроби в десятичную

Преобразуем дробь в десятичную. Мы будем использовать математический навык, который вы уже изучили: длинное деление. Чтобы освежить в памяти этот навык, вы можете просмотреть наш урок «Длинная дивизия».

Просмотрите слайд-шоу, чтобы узнать, как преобразовать дробь в десятичную.

Попробуйте это!

Преобразуйте каждую из этих дробей в десятичное число .

Преобразование десятичной дроби в дробь

Теперь сделаем это в обратном порядке. Преобразуем десятичную дробь в дробь.

Щелкните слайд-шоу, чтобы узнать, как преобразовать десятичную дробь в дробь.

Уменьшение дроби может показаться ненужным при преобразовании десятичной дроби. Но это важно, если вы собираетесь использовать дробь в математической задаче. Если вы добавляете две дроби, вам может даже понадобиться уменьшить или изменить обе дроби, чтобы у них был общий знаменатель .

Попробуйте это!

Преобразуйте эти десятичные дроби в дроби. Не забудьте привести каждую дробь к простейшей форме!

Проценты и десятичные дроби

Знание того, как преобразовывать проценты и десятичные дроби, поможет вам рассчитать такие вещи, как налог с продаж и скидки. Чтобы узнать, как это сделать, ознакомьтесь с нашим уроком «Проценты в реальной жизни».

Преобразование процентов в десятичные числа

Преобразование процентов в десятичные числа на удивление просто. Это займет всего несколько простых шагов.

Просмотрите слайд-шоу, чтобы узнать, как преобразовать проценты в десятичные дроби.

Почему это работает?

Преобразование процентов в десятичные дроби настолько просто, что вам может показаться, будто вы что-то упустили. Но не волнуйтесь — это действительно так просто! Вот почему метод, который мы вам показали, работает.

Когда мы превращаем процент в десятичную дробь, мы фактически делаем два шага. Сначала мы конвертируем наш процент в дробь. Поскольку все проценты выходят за пределы 100, мы просто помещаем проценты больше 100, например:

.

78% = 78/100

На втором этапе мы преобразуем 78/100 в десятичное число.Вы уже знаете, что это означает, что мы разделим числитель на знаменатель , вот так:

78 ÷ 100 = 0,78

Так почему же мы не показали эти шаги в слайд-шоу? Потому что вы можете получить ответ и без них. Вы знаете, что все проценты не равны 100, поэтому можете не превращать проценты в дроби. Вы должны разделить процент на 100, чтобы получить десятичную дробь, но есть быстрый способ сделать это. Просто переместите запятую на две позиции влево! Таким образом, вы можете получить тот же ответ всего за один простой шаг.

Попробуйте это!

Преобразуйте эти проценты в десятичные дроби.

Преобразование десятичной дроби в проценты

Теперь мы перевернем то, что вы только что узнали. Преобразуем десятичную дробь в проценты.

Щелкните слайд-шоу, чтобы узнать, как преобразовать десятичную дробь в проценты.

Попробуйте это!

Вычислить эти десятичные дроби в процентах.

Проценты и дроби

Умение записывать проценты в виде дробей и наоборот может помочь вам в повседневной жизни.Например, предположим, что вы получили оценку 80% на тесте. Вы можете преобразовать 80% в дробь, чтобы узнать, сколько из ваших ответов были правильными. Когда ваш учитель оценивает тест, он может поступить наоборот. Если учащийся правильно ответил на 8 из 10 вопросов, учитель может преобразовать 8/10 в проценты, чтобы поставить учащемуся оценку.

Преобразование процентов в дроби

Когда вы конвертируете проценты в дроби, полезно помнить, что проценты всегда выходят за пределы 100. Вы можете попрактиковаться с процентами в нашем уроке «Введение в проценты».

Просмотрите слайд-шоу, чтобы узнать, как преобразовать проценты в дроби.

Попробуйте это!

Запишите эти проценты в виде дробей. Убедитесь, что уменьшите каждую дробь до простейшей формы.

Преобразование дроби в проценты

Преобразование дроби использует два навыка, которые вы только что изучили: запись дроби в виде десятичного числа и запись десятичного числа в виде процента . Давайте посмотрим, как мы можем использовать эти навыки для преобразования дроби в проценты.

Просмотрите слайд-шоу, чтобы узнать, как преобразовать дробь в проценты.

Попробуйте это!

Преобразуйте эти дроби в проценты.

Как записывать дроби в словах

Дроби выражают числа, которые являются частью целого, обычно записываются в числовом виде, но когда вам нужно записать их в виде слов, напишите числа по буквам и используйте тире между двумя числовыми элементами, такими как пять восьмых. на 5/8.Дроби могут быть большими или маленькими, и количество дробей бесконечно, но если вы будете следовать некоторым основным процедурам, вы сможете написать любую дробь словами.

Основная терминология

Дроби состоят из двух чисел, разделенных косой чертой. Число, которое появляется над косой чертой, является числителем, который выражает количество частей, а нижнее число, знаменатель, под косой чертой определяет количество частей, на которые делится целое. Например, если вы заказываете пиццу, разрезанную на 10 равных кусочков, и кладете три из этих кусочков себе на тарелку, вы получаете 3/10 пиццы.Числитель этой дроби равен трем, а знаменатель равен 10. Чтобы выразить дробь словами, напишите числитель, добавьте дефис, а затем напишите знаменатель. В словесной форме дробь 3/10 будет записана как три десятых.

Общие указания и исключения

Напишите числитель дроби, написанный словами, точно так, как он выглядит как число. Перед дробью 5/9 напишите в числителе пять. Напишите знаменатель дроби, как если бы вы записывали рейтинг в гонке или соревновании, например, третье, четвертое, пятое, шестое и седьмое, имея в виду множественное число третьих, четвертых, пятых, шестых и седьмых.Запишите знаменатель 5/9 в виде девятых. Исключением является случай, когда знаменатель равен двум. Например, рассмотрим дробь 1/2. Вы бы никогда не написали это как одну секунду, вместо этого вы бы выразили 1/2 как половину. Также обратите внимание, что писать четверку можно по-разному: как четверти или как четверти. Хотя термин четверти встречается несколько чаще, писать четверти вполне приемлемо. Например, вы можете правильно выразить 3/4 как три четверти или три четверти.

Перенос больших дробей

Перенос работает иначе с большими дробями, которые содержат цифры больше 20 в числителе или знаменателе. Часто эти цифры уже расставлены через дефис — например, 45, написанное прописью, равно сорока пяти, — и дополнительные переносы могут привести к путанице. В таких случаях опустите дефис между числителем и знаменателем дроби. Например, напишите 45/81 как сорок пять восемьдесят первых, а 17/200 напишите как семнадцать двухсотых.

Неправильные дроби

Эти процедуры также применимы к неправильным дробям, то есть дробям, в которых числитель больше или равен знаменателю. Например, вы запишете 11/7 как одиннадцать седьмых, а 61/3 как шестьдесят одну треть.

Смешанные дроби

Смешанные дроби, также называемые смешанными числами, состоят из целого числа, присоединенного к дроби, например 6 3/5. Чтобы написать смешанные дроби в словах, запишите целое число, разделенное словом и, а затем дробную часть.Придерживайтесь обычных правил расстановки переносов. Например, 6 3/5 превращается в шесть и три пятых, а 38 57/64 становится тридцать восемь и пятьдесят семь шестьдесят четвертых.

Как вводить дроби в Google Docs

В Google Docs вы можете записывать символы дроби или знаки деления (/ или -), которые состоят из числителя и знаменателя, в виде дробей двумя разными способами.

Некоторые люди и студенты предпочитают дробную черту в качестве диагональной линии (/), а некоторым нравится разделительная черта (-) для отображения дробей при написании документов.

Здесь мы увидим и диагональ, и то, как получить разделительную линию в Google docs.

Вы можете поставить (—) между числителем и знаменателем, вы можете поставить косую черту (/) между числами или, если вы хотите записать общий формат дроби, такой как половина (½) или одна четвертая (¼), просто введите дробь, а затем нажмите клавишу ввода на клавиатуре, ваша дробная черта будет автоматически вставлена ​​в Документы Google.

Некоторым людям нравится добавлять дроби типа 1/2 или 1/16 и они хотят прекратить преобразование дробей в предварительно отформатированную форму в документе Google Docs.

Итак, мы изучим различные способы ввода дробей в Google Docs .

Как составлять дроби в Документах Google с помощью уравнения

Инструмент уравнения очень полезен для создания горизонтальной линии разделения между числами в числителе и знаменателе в Документах Google.

Вы можете набирать и составлять как правильные дроби, так и смешанные дроби в Google Docs с помощью метода Equation Editor.

Откройте Документы Google с Google Диска, если у вас уже есть существующий документ, или создайте новый.Поместите курсор туда, где вы хотите вставить дроби в Документах Google.

Затем перейдите к строке меню и перейдите к Вставьте -> щелкните Уравнение

Под новой панелью инструментов уравнения выберите Математические операции , затем выберите формат дроби , как показано на рисунке ниже:

Теперь введите число вместо числителя и места знаменателя. Это создаст вертикальные дроби и позволит избежать косой черты.

Вы можете написать простую дробь, смешанную дробь или получить необыкновенную дробь в Документах Google с помощью редактора уравнений .

Редактор уравнений — лучший способ вставить математическое уравнение в Документы Google.

Как записывать дроби в Документах Google с помощью специальных символов

Вы также можете записывать дроби в Документах Google, вставляя в документы специальные символы.

Откройте документ Google Docs в браузере компьютера и наведите курсор туда, где вы хотите поместить дроби.

Перейдите к опции Меню и перейдите к Вставьте -> щелкните Специальные символы

Перед вами появится небольшое окно, оттуда выпадающее меню и выберите Номер , затем Фракции/Связанные как упомянутый под-

Теперь выберите нужные символы дроби из таблицы, например, ¼, ½ и т. д.Это очень полезно для записи общего типа дроби в Документах Google.

Узнайте также: как пользователь Microsoft Word может вводить дроби в документе Word.

Как ввести и прекратить преобразование дробей в Документах Google с помощью настроек

Если вы хотите ввести что-то вроде 3/4, 1/16 и прекратить автоматическое преобразование чисел, отключите настройку в документах.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.